La forma general de una desigualdad de segundo grado es: ax +bx +c lt; 0 (o gt; 0). Resolver una desigualdad significa para determinar los valores dex que hacen que sea cierto. El conjunto solución de una desigualdad de segundo grado se representa en un intervalo de la forma. Los tres métodos principales para resolver las desigualdades cuadráticas son el método de punto de prueba, el método (más común) algebraica y método gráfico.
pasos
parte 1
Resolver una desigualdad del segundo grado en cuatro pasos
1
Aislar la función f (x) en el lado izquierdo de la desigualdad, dejando cero (0) a la derecha.
ejemplo: para aislar la tríada de la desigualdad x (6x + 1) lt; 15 tienen 6x + x - 15 lt; 0.
2
Determinar las raíces de la ecuación cuadrática. Resolver la ecuación utilizando cualquiera de los siguientes métodos. Una ecuación de segundo grado puede tener dos, uno o ningún raíces reales.
Aplicando la fórmula Bhaskara (siempre funciona).
Factoring (sólo si las raíces son racionales).
Completando el cuadrado (siempre funciona).
Dibujo de la gráfica de la función (por aproximación).
Uso de la suma y el producto de las raíces.
3
Resolver la desigualdad utilizando las dos raíces obtenidas.
Puede utilizar uno de dos métodos:
Método 1: elegir un punto situado en el espacio entre los ceros de la ecuación y hacer la prueba. Los dos raíces reales de la ecuación dividen la línea real en un intervalo cerrado (entre dos raíces) y dos intervalos sin fin (uno izquierdo y otro raíz inferior derecha de la raíz más larga). Utilice siempre el origen (cero) como un punto de prueba. Vuelva a colocar el desconocido de la desigualdad que se trate por igual a cero. Si se mantiene la desigualdad (es decir, si se mantiene cierto), entonces el rango al que pertenece es el conjunto solución.
Obs.: cuando se utiliza este método para resolver un sistema de dos (o más) de inecuaciones con una variable, debe utilizar una línea real para cada desigualdad del sistema.
Método 2: utilizar el método algebraico (dependiendo del signo del estudio). En primer lugar, el estudio de la señal de la función f (x) de inequação- a continuación, determinar los intervalos de solución.
Estudio de señales de f (x):
Si la función tiene dos raíces reales, f (x) tiene un valor opuesto al coeficiente en entre estas dos raíces. Por lo tanto, podemos decir que:
En el intervalo entre dos raíces reales, f (x) es positiva si el coeficiente a es negativo.
En el intervalo entre dos raíces reales, f (x) es negativo, el coeficiente a es positivo.
Para entender este teorema, basta con ver la gráfica de la función de la parábola de las intersecciones f (x) en el eje x. Por ejemplo, si el coeficientea es positivo, entonces la concavidad de la parábola se centrará en cima- la parte de la parábola entre los dos puntos de intersección (la función de raíces) está por debajo del ejex, lo que significa que f (x) es negativo en este rango (signo opuesto al dea).
Este método puede ser más rápido que la recta real, ya que no es necesario trazar una línea para cada desigualdad. Si está trabajando con un sistema de desigualdades de la escuela secundaria, preparar una tabla con los signos del determinante y el coeficiente para facilitar la resolución.
4
Escribe la respuesta (o conjunto-solución) en forma de intervalos.
Ejemplos intervalos:
(A, b) Es un intervalo abierto al aire libre y enb, es decir, estos dos puntos no son parte de la solución.
[A, b] Es un intervalo cerrado y la cerradab, es decir, estos dos puntos son de la solución.
(-∞, B] es un campo abierto a menos infinito y se cerró en b, es decir, todos los puntos más pequeños y igual ab parte de la solución.
Nota 1 .: La ecuación no tiene raíces reales (Δ menor que cero), f (x) es siempre positiva (o negativa) en función de la señal de coeficientea- significa que el conjunto solución estará formado por todos los números reales o estará vacío. Si la ecuación tiene dos raíces reales iguales (Δ igual a cero), la solución conjunta consistirá en un momento dado, todos los números reales excepto en un momento dado, todos los números reales o está vacía.
ejemplo: resolver la desigualdad f (x) = 15x - 8x + 7 gt; 0.
solución: el discriminante Δ = b - 4ac = 64-420 = -356. Para ser menor que cero, la función no tiene raíces reales. Puesto que el coeficiente a es positivo, f (x) es siempre positiva, sin importar el valor asignado ax. Por lo tanto, la desigualdad es siempre verdad.
ejemplo: resolver la desigualdad f (x) = -4x - 9x - 7 gt; 0.
solución: el discriminante Δ = 81-112 = -31. Para ser menor que cero, la función no tiene raíces reales. Puesto que el coeficiente a es negativo, f (x) es siempre negativo, sin importar el valor asignado ax. Por lo tanto, la desigualdad es siempre falsa.
NB2 .: cuando la desigualdad también tiene un signo igual ("o mayor" o "o menos"), La diferencia debe estar cerrada en ambos extremos, por ejemplo, [-4, 10], para indicar que dos puntos pertenecen al conjunto solución. Si la desigualdad es el tipo estrictamente "más grande que" o "menos que"Utilice intervalos abiertos, por ejemplo (-4, 10), para indicar que estos dos puntos no pertenecen a la puesta en solución.
parte 2
primer ejemplo
1
Encuentra el conjunto solución de 15 gt; 6x + 43x.
2
Aislar la función f (x) en el lado izquierdo de la desigualdad. Tenemos f (x) = -6x - 43x + 15 gt; 0.
3
Determinar los ceros de f (x) usando el método de la suma y el producto de las raíces.
los coeficientes ec f (x) tienen signos opuestos, sabemos que las dos raíces también tienen signos opuestos.
Escribe algunos de los posibles pares de raíces. En este ejemplo, vamos a considerar los pares {-3/2, 5/3}, {-1 / 2, 15/3} y {-1/3, 15/2}. El producto de los numeradores de las raíces debe ser igual al coeficiente de término independiente (15) y el producto de los denominadores de las raíces debe ser igual al coeficiente x (-6).
Determinar la suma de los productos de las diagonales, también conocidos como la suma de la primera numerador de la raíz por el denominador del producto con la segunda raíz numerador del producto de la segunda denominador raíz de la primera raíz. En este ejemplo, utilizando los posibles pares de raíces, tenemos (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27 y ( -1) * (2) + (3) * (15) = 43. Como la suma de la función de las raíces es igual a -b /a dondeb es el coeficientey xa es el coeficientex, recogió el tercer par en respuesta (tal como el producto de la raíz es negativo, es todavía necesario para resinas de intercambio de dos números). Por lo tanto, la función de las raíces son {1/3, -15/2}.
4
Aplicar el teorema de estudio señal de función para determinar el conjunto solución de la desigualdad.
En medio de las dos raíces, f (x) es positivo ya que el signo del coeficiente a es negativo (-6). Fuera de este intervalo, f (x) es negativa. A medida que la desigualdad es estrictamente mayor, se utiliza un rango abierta para excluir los dos puntos donde f (x) es igual a cero.
La solución conjunta de esta desigualdad es el campo abierto (-15/2 1/3).
parte 3
segundo ejemplo
1
Encuentra el conjunto solución x (6x + 1) lt; 15.
2
Aislar la función f (x) en el lado izquierdo de la desigualdad. Nos f (x) = 6x + x - 15 lt; 0.
3
los coeficientes ec f (x) tienen signos opuestos, las dos raíces también tienen signos opuestos.
4
Escribe algunos de los posibles pares de raíces. En este ejemplo, vamos a considerar los pares (-3/2, 5/3) y (-3/3, 5/2).
El numerador (en magnitud) de la suma de las raíces es igual al coeficiente b. En el primer par, la suma de la diagonal del producto es igual a (-3) * (3) + (2) * (5) = 1. En el segundo par, la suma de la diagonal del producto es (-3) * (2 ) + (3) * (5) = 9.
Las raíces de esta función son 3/2 y -5/3.
5
Aplicar el método prueba de la mancha.
6
Seleccione la fuente como un punto de prueba. Sustituya la variable desigualdad entre cero. Después de los cálculos, tenemos: - 15 lt; 0. En este caso, ya que la desigualdad es verdadera, podemos decir que el origen pertenece al intervalo solución. Por tanto, el conjunto solución es el intervalo abierto (-5/3, 3/2).
7
Utilice el método gráfico. Determinar la solución de la desigualdad de dibujo gráfico de su conjunto.
El concepto de este método es simple. Cuando el gráfico de la función de parábola está por encima del eje x, el valor de f (x) es positiva (y viceversa). Para resolver una desigualdad de segundo grado, sin necesidad de extraer el gráfico perfectamente- basado tanto en función de las raíces, acaba de hacer un boceto de la parábola. Lo más importante es poner la concavidad de la parábola hacia la dirección correcta (hacia arriba o hacia abajo).
Utilizando este método, se puede resolver un sistema de dos o más desigualdades de la escuela secundaria dibujar las parábolas correspondientes en el mismo sistema de coordenadas.
consejos
Durante la resolución de un ensayo (debido al escaso tiempo), es importante encontrar el problema de la solución conjunta lo más rápidamente posible. Siempre elegir el origen (punto cero) cuando se utiliza el método de punto de prueba, a menos que sea una de las funciones de las raíces. No pierda tiempo probando otros puntos. Asimismo, no gastar su tiempo factorizar ecuaciones, en sustitución de las raíces o estudiar el signo de la función.
Si los problemas de la prueba son de opción múltiple y no piden explicación del método usado para encontrar la solución, elegir el método algebraico para resolver las desigualdades segundo grado: es más rápido y no requiere gráfico.
Vídeo: Inecuaciones de segundo grado . Aprende matemáticas
Como representación gráfica de una función racional
¿Cómo encontrar el valor de x en la ecuación
Suma y resta de raíces cuadradas
Cómo calcular la media geométrica
Cómo derivar la fórmula para cuadrática
Cómo determinar las coordenadas de un punto de inflexión de una función
¿Cómo encontrar la intersección de x
¿Cómo encontrar la ecuación de una recta
Cómo factorizar un polinomio de 3er grado
Cómo factoring ecuaciones algebraicas
Cómo factorizar polinomios de segundo grado (ecuaciones de segundo grado)
Cómo hacer gráficos de desigualdades
¿Cómo resolver ecuaciones con variables en ambos lados
¿Cómo resolver ecuaciones algebraicas simples
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas
¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales
¿Cómo resolver ecuaciones de 2º grado
¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones
¿Cómo saber si una función es par o impar