4 maneras de resolver ecuaciones diferenciales

Métodos: 4Lo básico La solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden Resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden Resolución de ecuaciones diferenciales Orden Superior

Un curso completo de ecuaciones diferenciales en derivadas de las aplicaciones que serán evaluados en dos o tres semestres de cursos de cálculo. una derivado es tasa de cambio de una cantidad para el otro- por ejemplo, la velocidad a la que la velocidad de un objeto varía con el tiempo (comparar la pendiente). Dichas tasas de crecimiento a menudo aparecen en el día a día. Por ejemplo, la ley de el interés compuesto dice que la velocidad con la que se acumulan los intereses es proporcional a la cantidad inicial de dinero dado por dy / dt = ky, donde y es la suma de dinero a ganar el interés compuesto, t es el tiempo, y k es una constante (instante t es un intervalo de tiempo). Aunque, por lo general, el interés de tarjetas de crédito que se capitaliza diariamente y se clasifica como una tasa de porcentaje anual - la solución de una ecuación diferencial todavía puede dar solución inmediata y = c ^ (kt), donde c es una constante arbitraria (la tasa de interés). Este artículo le mostrará cómo resolver los tipos de ecuaciones diferenciales que se encuentran comúnmente, especialmente en la mecánica y la física.

método 1

Lo básico

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales Paso 1

Definición de derivada. El derivado - el una de las razones limitar el incremento de una función (Por lo general, y) en relación con incrementar una variable (Por lo general, x) que funcionan, ya que éste tiende a 0- variación instantánea de una cantidad en relación con otro, como la velocidad, la cual es la variación instantánea de la distancia con respecto al tiempo. comparar y primeras derivadas segunda derivada:
primeras derivadas - la derivada de una función, por ejemplo:
"La velocidad es la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo".
segundas derivadas - la derivada de la derivada de una función, por ejemplo:
"La aceleración es la segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo".

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales Paso 2

Aprender el orden y el grado de la ecuación diferencial. la orden una ecuación diferencial se determina por la derivada de la orden- mayor grado Se determina por la mayor potencia de una variable. Por ejemplo, la ecuación diferencial se muestra en La figura 1 es de segundo orden, tercer grado.

Aprender la diferencia entre una solución general o frente a una solución completa en particular. Una solución general contiene un número constante arbitraria igual al orden de la ecuación. (Para resolver una ecuación diferencial de orden No se tiene que realizar n integraciones, y cada vez que se integra debe introducir una constante arbitraria). Por ejemplo, en la ley del interés compuesto, la ecuación diferencial dy / dt = ky es de orden 1, y su solución general y = c ^ (kt) tiene exactamente una constante arbitraria. Una solución particular se obtiene dando valores particulares a la constante de la solución global.

método 2

La solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden se puede expresar como F = dy dx + N 0, donde M y N son funciones de x e y. Para resolver esta ecuación diferencial, haga lo siguiente:

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales Paso 4

Asegúrese de que las variables son separables. Las variables son separables es la ecuación diferencial puede ser expresada como f (x) dx + g (y) dy = 0, donde f (x) es una función de x y solamente g (y) es sólo una función y. Estas son las ecuaciones diferenciales más fáciles de resolver. Se pueden integrar para dar ∫f (x) dx + ∫g (y) dy = c, donde c es una constante arbitraria. Aquí es un enfoque general. Vea la Figura 2 para un ejemplo.

Desaparecer con fracciones. Si la ecuación implica derivados, multiplicado por el diferencial de la variable independiente.
Unirse a todos los términos que contienen el mismo diferencial en un solo término.
Integrar cada parte por separado.
Simplificar las expresiones, haciendo coincidir los exponentes términos para convertir logaritmos, y utilizando el símbolo más sencilla de las constantes arbitrarias, por ejemplo.

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Si las variables no se pueden separar, comprobar que la ecuación diferencial es homogénea. Una ecuación diferencial dx M + N dy = 0, la sustitución homogénea de x e y para λx y resultado λy en la función original multiplicado por alguna potencia de λ, donde λ es el nivel de potencia de la llamada función original. Si es así, siga estos pasos. Vea la Figura 3 para un ejemplo.

Sea y = vx, por lo que dy / dx = x (dv / dx) + v.

M + C dx dy = 0, obtenemos dy / dx = -M / N = f (v), puesto que y es una función de v.

Entonces f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Ahora las variables X y V se pueden separar dx / dv = x / (f (v) -v)).

Resolver la nueva ecuación diferencial con variables separadas, a continuación, utilizar la sustitución y = vx para encontrar y.

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Si la ecuación diferencial no puede ser resuelto por los dos métodos anteriores, ver si se puede expresar como una ecuación lineal en forma de dy / dx + Py = Q, donde P y Q son funciones de x solamente, o constantes. Tenga en cuenta que x e y pueden ser utilizados de manera intercambiable en el presente documento. En caso afirmativo, proceder de la siguiente manera. Ver Figura 4 para un ejemplo.

Sea y = uv, donde u y v son funciones de x.

Derivando, por dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).

Sustituyendo en dy / dx + Py = Q, obtenemos u (dv / dx) + v (du / dx) + Q = VUP, o u (dv / dx) + (du / dx + Pu) v = Q.

Determinar la integración de dv / dx + Pu = 0, donde las variables son separables. A continuación, utilice el valor obtenido de u para encontrar la solución v u (dv / dx) = Q, donde, de nuevo, las variables son separables.

Por último, utilice la sustitución y = uv para encontrar y.

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales Paso 7

La solución de la ecuación de Bernoulli: dy / dx + p (x) y = g (x) y, como sigue:

Sea u = y, a continuación, du / dx = (n-1) y (dy / dx).

Por lo tanto, u = y, dy / dx = (du / dx) y / (1-n) y y = u.

Sustitución de la ecuación de Bernoulli, y multiplicando por (1-n) / u, obtenemos

du / dx + (1-n) p (x) = u (n-1) q (x).

Tenga en cuenta que ahora tenemos una ecuación lineal de primer orden en la nueva variable u, y puede ser resuelto por la técnica anterior (Paso 3). Una vez resuelto, vuelva a colocar de nuevo y = u para la solución global.

método 3

Resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Compruebe que satisface la ecuación diferencial como se muestra en la ecuación (1) en la figura 5, donde f (y) es una función de y solamente, o una constante. Si es así, basta con seguir los pasos que se indican en la Figura 5.

La resolución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes: Compruebe que diferencia la ecuación satisface la forma que se muestra en la ecuación (1) en la figura 6. Si es así, la ecuación diferencial se puede resolver simplemente como una ecuación de segundo grado, como se demuestra en los siguientes pasos:

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Para resolver una ecuación diferencial de segundo más general, verificar que la ecuación diferencial satisface la forma que se muestra en la ecuación (1) en la figura 7. Si es así, la ecuación diferencial se puede resolver siguiendo los pasos a continuación. Consulte los siguientes pasos en la Figura 7 para un ejemplo.

Resolver la ecuación. (1) Figura 6 (Donde f (x) = 0) usando el método descrito anteriormente. Hacer que la solución general y = u. u es el función complementaria a la ecuación. (1) Figura 7.

Encontrar una solución y = v en particular de la ecuación. (1) de la figura 7 por ensayo y error. Siga estos pasos:

Si f (x) no es una solución particular (1):

Si f (x) es en la forma f (x) = a + bx, hacer y = v = A + Bx;

Si f (x) tiene la forma f (x) = ae, hacer y = v = Ae;

Si f (x) es en la forma f (x) = a₁ cos bx + a₂ bx pecado, hacer y = v = A₁ cos bx + A₂ bx pecado.

Si f (x) es una solución particular (1), por favor ver como el anterior, multiplicado por x.

La solución completa de (1) viene dada por y = u + v.

método 4

Resolución de ecuaciones diferenciales Orden Superior

ecuaciones diferenciales de orden superior son mucho más difíciles de resolver, a excepción de algunos casos especiales de la siguiente forma:

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales paso 11

Compruebe que satisface la ecuación diferencial como se muestra en la ecuación (1) en la figura 5, donde f (x) es una función de x solamente, o una constante. Si es así, basta con seguir los pasos de la Figura 8.

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales paso 12

La resolución de ecuaciones diferenciales linealesorden n con coeficientes constantes: Comprobar que la ecuación diferencial satisface la forma que se muestra en la ecuación (1) de la figura 9. En caso afirmativo, la ecuación diferencial se puede resolver de la siguiente manera:

Imagen titulada resolver ecuaciones diferenciales paso 13

Para resolver una ecuación diferencial lineal nth más general, verificar que la ecuación diferencial satisface la forma que se muestra en la ecuación (1) Figura 10. Si es así, la ecuación diferencial puede ser resuelto por un método análogo al usado para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, como sigue:

Aplicaciones en la vida real

derecho de interés compuesto: La tasa de interés acumulada es proporcional a la cantidad inicial de dinero. En general, la tasa de cambio con respecto a una variable independiente es proporcional al valor correspondiente de la función. Es decir, si y = f (t) dy / dt = ky. Resolviendo esta ecuación usando el método de separación de variables, obtenemos y = c ^ (kt), donde y es un monto acumulado de los intereses compuestos dinero, c es una constante arbitraria, k es la tasa de interés, por ejemplo, el interés en bienes en un real anual, t es el tiempo. El tiempo, por lo tanto, es el dinero.

nota la ley del interés compuesto se aplica a muchas áreas de la vida diaria. Por ejemplo, supongamos que usted está tratando de diluir la solución salina mediante la adición de agua para reducir la concentración de sal. ¿Cuánta agua necesita agregar? Y la concentración de la solución varía de tasa de agua añadido?

Sea s = cantidad de sal en la solución, en cualquier momento, x = cantidad de agua que ha agregado, y v = volumen de la solución. La concentración de sal de la mezcla está dada por s / v. Supongamos ahora que un volumen Ax fugas de la solución, entonces la cantidad de sal que sale es (w / v) Ax y por lo tanto, la variación en la cantidad de sal, Ds está dada por Ds = - (w / v) hacha. Divide ambos lados por Ax encontrar Ds / Ax = - (s / v). Tome el límite Ax - gt; 0, y tenemos ds / dx = s / v, que es la ecuación diferencial en la forma de la ley del interés compuesto, donde y es ahora S, T es ahora Xek es ahora -1 v. /
Ley de Newton para la refrigeración es otra variación de la ley del interés compuesto. Ella dice que la variación temporal de una disminución de la temperatura del cuerpo en contacto con la temperatura del aire que te rodea es proporcional a la temperatura corporal del aire que te rodea. Sea x = temperatura corporal por encima de la del aire que te rodea, t = tiempo, tenemos dx / dt = kx, donde k es una constante. La solución a esta ecuación diferencial es x = c ^ (kt), donde c es una constante arbitraria, como arriba. Supongamos que el exceso de temperatura, x, fue inicialmente a 80 grados, luego disminuye a 70 grados después de un minuto. ¿Cuál es la temperatura después de 2 minutos?

Sea t = tiempo en minutos x = exceso de temperatura en grados, tenemos 80 = c ^ (k * 0) = c. Sin embargo, 70 = c ^ (k * 1) = 80e ^ k, entonces k = ln (7/8). Por lo tanto, 70e ^ x = (ln (7/8) T) es una solución particular a este problema. Ahora sustituir t = 2 y x = hallazgo 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grados después de 2 minutos.
En la termodinámica atmosférica, presión atmosférica p sobre el nivel del mar varía con respecto a la altitud h por encima del nivel del mar - otra variación de la ley del interés compuesto. La ecuación diferencial aquí es dp / dh = kh, donde k es una constante.
en química, la velocidad de una reacción química en la que x es la cantidad transformada en el tiempo t es la tasa de tiempo de cambio de x. Sea A = concentración en el inicio de la reacción, a continuación, dx / dt = k (a-x), donde k es una velocidad constante. Esta es otra variante de la ley de interés en la que el compuesto (a-x) es ahora una variable dependiente. Tenga en cuenta que d (a-x) / dt = -k (a-x), a continuación, d (a-x) / (a-x) = -kdt. Integrar para ln (a-x) = -kt + a desde a-x = a en el momento t = 0 Reordenando, vemos que la constante de velocidad k = (1 / t) ln (a / (a-x)).
en el electromagnetismo, dada una tensión de circuito eléctrico V y la corriente i (amperios), la tensión de V se consume al pasar a través de la resistencia R (ohmios) del circuito y la inductancia L, que se rige por la ecuación V =iR + L (di / dt), o di / dt = (V - iR) /L. Esta es otra variante de la ley del interés compuesto, en donde V - iR ahora es la variable dependiente.

en acústica, vibraciones armónicas simples tienen una aceleración que es directamente proporcional a la negativa de la distancia. Recuerde que la aceleración es la segunda derivada de la distancia, por lo ds /dt + ks = 0, donde s = distancia, t = tiempo, y k es la magnitud de la aceleración en unidades de distancia. es ecuación armónico simple, una segunda ecuación diferencial orden lineal con coeficientes constantes, como dirigida en la figura 6, las ecuaciones (9) y (10). La solución es s s = c₁cos Kt + c₂pecado kt.

Esto puede simplificarse un poco más si c₁ = B sen, c₂ = Cos b A. Sustituyendo estos valores, se obtiene b sen A cos kt + b eos kt pecado. Recuerde que en la trigonometría, sin (x + y) = sen x cos y + cos x sen y, a continuación, la expresión se reduce a s = b sen (kt + A). La forma de la onda, a raíz de la ecuación simple de armónicos, es entre b y -b, con periodo 2π /k.

oscilador armónico: Tome un objeto de masa m, unida a un resorte vibrante. Por la ley de Hooke, cuando el muelle se estira o se comprime unidades s de su longitud original (o posición de equilibrio), ejerce una fuerza de recuperación Proporcional a F s, o F = -ks. Por la segunda ley de Newton (fuerza es igual a masa por aceleración), tenemos m ds /dt = -ks, o m ds /dt + ks = 0, que es la expresión para el oscilador armónico simple.

amortiguador trasero y el resorte de una motocicleta BMW R75 / 5

oscilaciones amortiguadas: Considere un resorte de vibración que el anterior, con una fuerza de amortiguación. Una fuerza de amortiguación es un efecto como fricción, lo que tiende a reducir la amplitud de las oscilaciones en un oscilador. Por ejemplo, la fuerza de amortiguación puede ser suministrada por un amortiguador para un automóvil. En la mayoría de los casos, la fuerza de amortiguación, F_d, Que es aproximadamente proporcional a la velocidad del objeto o F_d = -c ds / dt, donde c es una constante. La combinación de la fuerza de amortiguación de la fuerza de recuperación, que tenemos -KS - C ds / dt = m ds /dt, por la segunda ley de Newton. o m ds /dt + c ds / dt + ks = 0. Esta ecuación diferenciaç es una ecuación lineal de segundo orden que puede ser resuelto utilizando la solución de la ecuación auxiliar mr + cr + k = 0, después de reemplazar s = e ^ (RT).
Resolviendo esta ecuación para la fórmula cuadrática, se r₁ = (-c+ sqrt (C- 4mk)) / 2m- r₂= (-c - sqrt (c - 4mk)) / 2m.

Super-acolchadosi c - 4mk gt; 0, r₁ y r₂ Son reales y distintas. La solución es s = c₁e ^ (r₁t) + c₂e ^ (r₂t). como c m, y k son todos positivos, sqrt (c - 4mk) debe ser menor que c, lo que implica que tanto las raíces, r₁ y r₂, Ellos son negativos, y la función es un decaimiento exponencial. En este caso, la oscilación No se produce. Una fuerza de amortiguación fuerte, por ejemplo, puede ser creado por una grasa de alta viscosidad o aceite.

amortiguamiento críticosi c - 4mk = 0, r₁ = r₂ = -c / 2m. La solución es s = (c₁ + c₂t) e ^ ((- c / 2m) t). Esto sigue siendo un decaimiento exponencial sin oscilación. Sin embargo, menos reducción en la fuerza de amortiguación hará que el objeto que se mueve a oscilar el equilibrio.

Subamortecimentosi c - 4mk lt; 0, las raíces son complejas, dada por -c / 2m +/- ωi donde ω = sqrt (4MK - c)) / 2m. La solución es s = e ^ (- (c / 2m) t) (c₁ cos ωt + c₂ pecado ωt). Este oscilador se amortigua por un factor e ^ (- (c / 2m) t. ya que tanto c como m son positivos, y ^ (- (c / 2m) t) tiende a cero cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, con el tiempo el movimiento decaerá a cero.

consejos

Reemplazar su solución de nuevo a la ecuación original. Así se puede ver si está satisfecha. Esto verificará que se ha resuelto la ecuación diferencial correctamente.
Tenga en cuenta la inversa de cálculo diferencial se llama cálculo integral ", que se ocupa de la suma de las cantidades que varían continuamente de efectos, por ejemplo, el cálculo de la distancia (d = rt comparar) recorrida por un objeto cuando se conocen sus tasas instantáneas (velocidades) a la vez.
Muchas ecuaciones diferenciales simplemente no se pueden resolver por los métodos anteriores. Los métodos anteriores, sin embargo, son suficientes para hacer frente a muchos importantes ecuaciones diferenciales que se encuentran normalmente.

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A diferencia de la diferenciación, en el que la derivada de una expresión dada se puede calcular, expresiones integrales muchos simplemente no puede ser calculado. Así que no pierda su tiempo tratando de integrar una expresión que no se pueden integrar. Sólo asegúrese de buscar una mesa completa para comprobar. La solución de una ecuación diferencial se considera eficaz cuando se reduce a una expresión que implica su conjunto, esta integración puede ser o no ser realizado.