Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o más funciones trigonométricas de la variable de arco trigonométrica x. Resolver el valor medio de x para encontrar los valores de las funciones trigonométricas hacen arcos cuya ecuación sea verdadera trigonométrica.
Respuestas, o valores de los arcos de la solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos:
x = pi / 3 - x = 5Pi / 6 - x = 3pi / 2 - x = 45. - X = 37.12º. - X = 178.37º.
Nota: el círculo unitario trigonométricas funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. El círculo unidad, define todas las funciones de la variable x de arco. También se utiliza como prueba de la solución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
sen x + sen 2x = 1/2 - tg x + cuna x = 1,732;
cos 3x + sen 2x = cos x - 2sen 2x + cos x = 1.
El círculo trigonométrico.
Es un círculo con radio = 1 unidad, que tiene 0 como el origen. Es el círculo de la unidad trigonométrica que define los cuatro principales funciones trigonométricas del arco x variable que gira en sentido antihorario ella.
Cuando el arco, con el valor de x varía en un círculo unidad:
El eje horizontal define el 0AX función trigonométrica f (x) = cos x.
El eje vertical define la función trigonométrica 0BY f (x) = sen x.
El eje vertical TA definición de la función trigonométrica f (x) = x tg.
El eje horizontal define el BU trigonométrica función f (x) = x cuna.
El círculo de la unidad también se utiliza para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas teniendo en cuenta las diversas posiciones de arco x en este círculo.
pasos
1
Cumplir con el concepto de resolución.
Para resolver una ecuación trigonométrica, convertirlo en una o varias ecuaciones trigonométricas básicas. Resolver ecuaciones trigonométricas se reduce a resolver cuatro tipos básicos de ecuaciones trigonométricas.
2
Aprender a resolver ecuaciones trigonométricas básicas.
Hay 4 tipos básicos de ecuaciones trigonométricas:
sen x = a - cos x = a
tg x = a - x = una cuna
Resolver las ecuaciones trigonométricas básicas que estudian las diversas posiciones x arco en el círculo de la unidad y el uso de una tabla de conversión trigonométrica (o calculadora). Para entender completamente la forma de resolver estas ecuaciones trigonométricas básicas, y otras ecuaciones similares, ver el libro cuyo título es: "Trigonometría: Resolución de ecuaciones trigonométricas y desigualdades" (Amazonas del E-libro de 2010).
Ejemplo 1. Calcular el sen x = 0,866. La tabla de conversión (o calculadora) nos da la respuesta: x = pi / 3. El círculo de la unidad nos da otro arco (2 Pi / 3), que tiene el mismo valor del pecado (0866). El círculo unidad también nos da un número infinito de respuestas.
x1 = pi / 3 + 2k.Pi y x2 = 2 Pi / 3. (Respuestas dentro del intervalo (0, 2 Pi))
x1 = pi / 3 + 2k Pi y x2 = 2 Pi / 3 + 2k Pi. (Otra respuesta).
Ejemplo 2. Calcular la cossen x = -1/2. Calculadoras nos dan x = 2 pi / 3. El círculo de la unidad nos da otra x = -2Pi / 3.
x1 = 2 Pi / 3 + 2k.Pi y x2 = - 2 Pi / 3. (Respuestas dentro del intervalo (0, 2 Pi))
x1 = 2 Pi / 3 + 2k Pi y x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Otra respuesta)
Ejemplo 3. Calcular: tg (x - pi / 4) = 0.
x = Pi / 4 - (respuesta)
x = pi / 4 + k Pi-(Otra respuesta)
Ejemplo 4. Se calcula la cotangente = 1.732. Calculadoras y círculo trigonométrico nos dan:
x = pi / 12 - (respuesta)
x = pi / 12 + k Pi - (Otra respuesta)
3
Aprender las transformaciones utilizadas en el cálculo de ecuaciones trigonométricas.
Para activar una ecuación trigonométrica dada en las ecuaciones básicas, utilizar transformaciones algebraicas comunes (factorización, factor común, identidades polinómicas ...), las definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Hay algo de 31 entre ellos y el último 14 de la 19 a 31 se les llama Transformación de identidad, que se utilizan para transformar ecuaciones trigonométricas. Ver el libro antes mencionado.
Ejemplo 5: La ecuación trigonométrica: sen x + sen 2 x + sen 3x = 0 puede ser transformado mediante identidades trigonométricas para el producto de las ecuaciones trigonométricas básicas: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. las ecuaciones trigonométricas básicas que hay que resolver son: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - y cos (x / 2) = 0.
4
Encuentra los arcos cuyas funciones trigonométricas son conocidos.
Antes de aprender cómo resolver funciones trigonométricas, lo que necesita saber cómo encontrar rápidamente el arco cuyas funciones trigonométricas son conocidos. Los valores de conversión de arcos (o ángulos) se dan en las tablas trigonométricas o calculadoras.
Ejemplo: Después de resolver, tiene cos x = 0732. Calculadoras dan la solución del arco x = 42.95º. El círculo de la unidad nos dará otros arcos de soluciones que tienen el mismo valor del coseno.
5
Trazar los arcos de la solución en el círculo unidad.
Puede hacer que el mapa ilustrativo de los arcos de la solución en su círculo unidad. solución Terminaciones de estos arcos se componen de polígonos regulares en el círculo. Por ejemplo:
Las terminaciones de los arcos x = pi / 3 + k.Pi / 2 forman un cuadrado en el círculo unitario.
Los arcos de la solución x = Pi / 4 + k.Pi / 3 está representado por los vértices de un hexágono regular en el círculo unidad.
6
Aprender los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
Si una ecuación trigonométrica dado tiene sólo una función trigonométrica, resolver una ecuación trigonométrica como básica. Si la ecuación dada contiene dos o más funciones trigonométricas, hay dos enfoques en la resolución, en función de la posibilidad de transformación.
A. Enfoque 1.
Girar la ecuación trigonométrica en un producto en la forma: f (x) .g (x) = 0 o f (x) .g (x) .h (x) = 0, donde f (x) g (x) h (x) son ecuaciones trigonométricas básicas.
Ejemplo 6. Resolver: 2cos x + sen 2x = 0. (0 lt; x lt; 2 pi)
Solución. Vuelva a colocar el pecado ecuación 2x utilizando la identidad: sen 2x = 2 sen x * x * cos.
cos x + 2 * sen x * cos x = x * 2cos (sen x + 1) = 0. Entonces resuelven las dos funciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sen x + 1) = 0.
Ejemplo 7. Resuelve: x cos cos cos + 2x + 3x = 0. (0 lt; x lt; 2 pi)
Solución. Se convierten en un producto usando identidades trigonométricas: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Entonces resolver las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
Ejemplo 8. Resolver: sen x - sen 3x = 2x cos. (0 lt; x lt; 2 pi)
Solución. Convertirse en un producto usando identidades trigonométricas: -cos 2x * (2sen x + 1) = 0. Entonces resolver las dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sen x + 1) = 0.
B. Enfoque 2.
Girar la ecuación trigonométrica en una ecuación trigonométrica con sólo una función trigonométrica como una variable. Hay algunos consejos sobre cómo elegir la variable correspondiente. Las variables comunes a elegir son: sen x = cos t t x = cos 2x = t, tg x = t, y tan (x / 2) = t.
Ejemplo 9. Resuelve: 3sen ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = x + 4sen 7 (0 lt; x lt; 2pi).
Solución. ecuación Substitute (cos ^ 2 x) por (1 - sen ^ 2 x), a continuación, a simplificar la ecuación:
sin ^ 2 x - 2 - 2sen ^ 2 x - x 4sen - 7 = 0. Di sen x = t. La ecuación se convierte en: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales: t1 = t2 = -1 y 9/5. T2 La segunda es rechazada, ya que es gt; 1. Luego, resuelve: t = sen -1 = --gt; x = 3pi / 2.
Ejemplo 10. Resuelve: tg tg x + 2 ^ 2 = x + 2 x cuna.
Solución. Decir tg x = t. Transformar la ecuación como una variable t: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) T = 0. Resuelve para el producto, a continuación, resolver la ecuación trigonométrica t = tg x para x.
7
Resolver los tipos especiales de ecuaciones trigonométricas.
Hay algunos tipos especiales de ecuaciones trigonométricas que requieren ciertos tipos de transformaciones. Ejemplos:
a * b * sen x + cos x = c - a (sen x + cos x) + b * x * cos sen x = c;
sen a * x ^ 2 + b * sen x * cos x + C ^ 2 * cos x = 0
8
Aprender la propiedad periódica de las funciones trigonométricas.
Todas las funciones trigonométricas son periódicas, lo que significa que se remontan a su valor inicial después de una rotación de un punto. Ejemplos:
La función f (x) = sen x tiene 2 Pi como el período.
La función f (x) = tan x tiene Pi como el período.
La función f (x) = sen 2x tiene Pi como el período.
La función f (x) = cos (x / 2) es el período como 4pi.
Si no se especifica el período en el problema / tema, usted tiene que encontrar la solución de arco x en este periodo.
NOTA: resolver una ecuación trigonométrica es un trabajo complicado que a menudo conduce a errores. Por lo tanto, las respuestas siempre deben ser cuidadosamente controlados. Una vez resuelto, se puede comprobar sus respuestas usando una calculadora gráfica para realizar directamente la gráfica de la ecuación dada R (x) = 0. Respuestas (raíces reales) se dan en números decimales. Por ejemplo, Pi tiene un valor de 3,14
Vídeo: Ecuación trigonométrica 01 BACHILLERATO
Vídeo: Solución de una ecuación trigonométrica ejemplo 1
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