Cómo Factoring ecuaciones algebraicas: 12 pasos

2 Métodos:Números de Factoring y expresiones algebraicas básico Factorización de ecuaciones de segundo grado

En matemáticas, factorización es el acto de búsqueda de los números o expresiones que se multiplican para dar un determinado número o ecuación. La factorización es una habilidad útil para aprender a resolver problemas básicos de álgebra- la capacidad de factor de forma competente se vuelve casi imprescindible cuando se trata de ecuaciones cuadráticas y otras formas de polinomios. La factorización se puede utilizar en la simplificación de expresiones algebraicas para hacer que la resolución más simple. Incluso se le puede dar la capacidad de eliminar ciertas respuestas posibles mucho más rápidamente que si no se utiliza.

método 1

Números de Factoring y expresiones algebraicas básico

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 1

Entender la definición del factor cuando se aplica a los números individuales. Factoring es conceptualmente simple, pero en la práctica puede resultar como una tarea difícil cuando se combina con ecuaciones complejas. Por esta razón, es más fácil de abordar el concepto de factorización de comenzar con los números simples, para continuar después con ecuaciones simples antes de proceder a aplicaciones más avanzadas. la una serie de factores son aquellos términos que se multiplican para tener como resultado. Por ejemplo, los factores de 12 son 1, 12, 2, 6, 3 y 4, ya que 1 × 12 × 2 × 4 06:03 12 todos tienen como resultado.
Otra forma de verlo es pensar que considerar los factores de un número son aquellos para los que es
También divisible.
Usted puede encontrar todos los factores número 60? Vamos a utilizar este número para una variedad de razones (minutos a la vez, segundos en un minuto, etc.) por el hecho de que es uniformemente divisible por una gran cantidad de números.
Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 2

Comprender que las expresiones variables también pueden tenerse en cuenta. De la misma manera que los números individuales pueden tenerse en cuenta, también puede variable con coeficientes numéricos. Para ello, sólo tiene que encontrar los factores de coeficientes variables. Conocer cómo factorizar variables es útil en la simplificación de las ecuaciones algebraicas en las que hay variables.

Por ejemplo, la variable de 12x puede ser escrito como el producto de x y 12. Podemos escribir como 12x o 3 (4), 2 (6x), etc., utilizando cualquiera de los 12 factores que son más adecuados para nuestro propósito.

Nunca podemos ir tan lejos como al factor de 12x múltiples veces. En otras palabras, tenemos que parar 3 (4x) o 2 (6x) - puede factorizar 4x y 6x, dando como resultado 3 (2 (2x)) y 2- (3 (2x)), respectivamente. Obviamente, estas dos expresiones son iguales.

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 3

Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación en la factorización de ecuaciones algebraicas. Usando sus respectivos conocimientos como números aislados de factores o variables con coeficientes, puede simplificar las ecuaciones algebraicas para encontrar los factores que los números y las variables tienen en común. Normalmente, para hacer una ecuación tan simple como sea posible, tratamos de salir adelante máximo común divisor. Esta simplificación proceso es posible debido a la propiedad distributiva de la multiplicación, el cual define que para cualquier números a, b y c, la (b + c) = ab + ac.

Experimentamos un problema de ejemplo. Para factorizar la ecuación algebraica 12x + 6, primero tratar de encontrar el máximo común divisor entre 12x y 6. El número 6 es el más grande que también divide tanto 12x y 6 y, por lo tanto, podemos simplificar la ecuación para 6 (2x + 1).

Este proceso también se aplica a ecuaciones con números negativos y fracciones. x / 2 + 4, por ejemplo, se puede simplificar a 1/2 (x + 8), y -7x + -21 a -7 se puede factorizar (x + 3).

método 2

Factorización de ecuaciones de segundo grado

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 4

Asegúrese de que la ecuación toma la forma cuadrática. Las ecuaciones cuadráticas toman la forma ax + bx + c = 0, donde a, byc son constantes numéricas y no es igual a 0 (nota que Puede ser igual a 1 o -1). Si usted tiene una ecuación que contiene una variable (x) que tiene uno o más términos de x elevado a la segunda potencia, normalmente se puede ajustar sus términos con las operaciones algebraicas básicas a tener 0 en un lado de la igualdad y el hacha en la otra.
Por ejemplo, considere los 5x ecuación algebraica + 7x - 9 = x + 4x - 18, que se puede simplificar a x + 6x + 9 = 0, que es cuadrática en forma.
Ecuaciones con función de x más grande que x3, x, etc. no puede considerarse cuadrática. Son cúbico, quartic, y así sucesivamente, a menos que la ecuación se puede simplificar para eliminar los términos de x con potencia superior a 2.

Imagen titulada ecuaciones algebraicas Factor Paso 5

En las ecuaciones cuadráticas en la que a = 1, es posible factorizar ellos en (x + d) (x + e), donde e = d × c y b = d + e. Si la ecuación cuadrática tiene la forma x + bx + c = 0 (en otras palabras, si el coeficiente del término x es igual a 1), es posible (aunque no garantizado) un acceso directo relativamente sencillo se puede utilizar para factorizar la . Encuentra dos números que se multiplican para dar lugar a C y que se añade para dar lugar a b. Una vez que encuentre estos dos números, D y E, los puso en la siguiente expresión: (X + d) (x + e). Estos dos términos, cuando se multiplica juntos, producen la ecuación de segundo grado deseado - en otras palabras, son los factores de una ecuación de segundo grado.

Por ejemplo, considere la ecuación cuadrática x + 5x + 6 = 0. Los números 3 y 2 para dar como resultado también se añaden multiplican y 6 para dar lugar a 5, de modo que podemos simplificar la ecuación en la expresión (x + 3) ( x + 2).

existen pequeñas variaciones en este acceso directo básico para diferentes variaciones de ecuaciones:

Si la ecuación cuadrática tiene la forma x - bx + c, su respuesta va a ser escrita como: (x - _) (x - _).

Si toma la forma x + bx + c, su respuesta va a ser escrita como: (x + _) (_ x +).

Si toma la forma x - bx - c, su respuesta va a ser escrito como (x + _) (x - _).

Nota: Los números en blanco pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo, la ecuación x + (21/2) = x 5 + 0 puede tenerse en cuenta en (x + 10) (x + 1/2).

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 6

Si es posible, al factor para la inspección. Lo creas o no, en caso de ecuaciones de segundo grado sin complicaciones. Una de las formas aceptadas de la factorización es simplemente para examinar el problema y luego a considerar sólo las respuestas posibles hasta encontrar la correcta. Este proceso también se conoce como la factorización para su inspección. Si la ecuación tiene la forma ax + bx + c y gt; 1, la respuesta factorizada tendrá la forma (dx _ +/-) (+/- _ ex), donde d y e son constantes numéricas diferentes de cero que se multiplican para dar lugar a. Tanto d y e (o ambos) Pueden ser el número 1, aunque esto no necesariamente sucede siempre. Si ambos son 1, que utilizó esencialmente el método abreviado descrito anteriormente.

Considere la posibilidad de un problema de ejemplo. 3x - 8x + 4, a primera vista, puede parecer intimidante. Sin embargo, cuando tenemos que 3 tiene sólo dos factores (03:01), la ecuación se vuelve más fácil, porque sabemos que la respuesta va a tomar la forma (3x _ +/-) (+/- x _). En este caso, añadir un -2 a ambos espacios, nos dará la respuesta correcta. -2 × x3 = -6x y -2 × x = -2x. La suma de los resultados -6x y -2x en -8x, y multiplicar los resultados de 2 -2 4, por lo que podemos ver los términos por coeficientes de multiplicación resultante paréntesis en la ecuación original.

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 7

Resolver el problema completando el cuadrado. En algunos casos, ecuaciones de segundo grado puede ser rápida y fácilmente un factor fuera utilizando una identidad algebraica particular. Cualquier ecuación de segundo grado de la forma x + 2XH + h = (x + h). Por lo tanto, si, en su ecuación, el valor de b es dos veces la raíz cuadrada de su valor c, la ecuación se puede factorizar a (x + (√c)).

Por ejemplo, la ecuación x + 6x + 9 se ajusta a esta forma. 3 es igual a 9, y 3 × 2 es igual a 6. De este modo, se sabe que la forma factorizada de la ecuación es igual a (x + 3) (x + 3), o (x + 3).

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 8

Utilizar factores de resolver ecuaciones de segundo grado. Independientemente de cómo se fatorará su expresión cuadrática, ya que se descompone en factores, se pueden encontrar respuestas a el valor de x para definir cada factor igual a cero y resolverlo. Puesto que usted está en busca de valores de x que hacen que la ecuación es igual a cero, un valor de x es igual a cero cualquiera de los factores es una posible respuesta a una ecuación de segundo grado.

Volviendo a la ecuación x + 5x + 6 = 0. Esta ecuación factorizado a (x + 3) (x + 2) = 0. Si cualquiera de los factores es igual a 0, toda la ecuación será igual a 0, por lo que la posible respuestas para x son números que (x + 3) y (x + 2) igual a 0. son -3 y -2, respectivamente.

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 9

Compruebe sus respuestas - algunos de ellos pueden ser extraño! Cuando haya encontrado las respuestas posibles para x, ponerlos de nuevo en la ecuación original para ver si son válidos. A veces las respuestas encontradas no quiere decir que la ecuación original es igual a cero cuando se inserta de nuevo. Llamamos a estas ecuaciones extraña y la indiferencia.

Pongamos -2 y -3 en la ecuación x + 5x + 6 = 0. En primer lugar, -2:

(-2) + 5 (-2) + 0 = 6

4 + 0 = -10 + 6

0 = 0. Esto es cierto de respuesta y, por lo tanto, -2 es una respuesta válida.

Ahora, vamos a tratar -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Esto también es cierto respuesta, por lo que -3 es también una respuesta válida.

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 10

Si la ecuación tiene la forma A - B, Factor de la forma (a + b) (a - b). Ecuaciones con dos variables se tienen en cuenta de manera diferente a cuadrática básica. Para cualquier ecuación - b, donde a y b igual no son 0, se factoriza la ecuación (a + b) (a - b).

Por ejemplo, la ecuación 9x - 4y = (9x + 4y) (9x - 4y).

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 11

Si la ecuación es de la forma a + b + 2ab, Factor-a (a + b). Tenga en cuenta que si la tríada tiene la forma - 2ab + b, la forma factorizada es ligeramente diferente: (a - b).

La ecuación 2x + 4y + 16xy se pueden escribir como x 2 + (2 x 2 x 4) xy + 4y. Se puede ver ahora que es en su forma correcta, por lo que podemos decir con confianza que los factores de la ecuación se pueden colocar como (2x + 4y).

Factor imagen titulada ecuaciones algebraicas Paso 12

Si la ecuación es de la forma a - b, a-Factor A (a - b) (a + ab + b). Por último, es importante mencionar que las ecuaciones de orden superior cúbico o pueden ser un factor fuera, aunque el proceso se vuelve increíblemente rápida más complicado.

Por ejemplo, 2x - 3y puede factorizar como (2x - 3y) (2x + ((2x) (3y)) + 3y).

consejos

a - b es factorizable, pero no a + b.
Recuerde como un factor constante - puede ayudar.
Cuidado con las fracciones en el proceso de factoring, y trabajar con ellos correctamente y con cuidado.
Si usted tiene un trinomio de la forma x + bx + (b / 2), la forma factorizada es (x + (b / 2)).
Recuerde que a0 = 0 (propiedad del producto cero).