3 maneras de Factoring Trinômios

Método 3:Factoring x2 + bx + c Factoring trinômios más elaborados Factoring casos especiales

Una tríada es una expresión algebraica que consta de tres términos. Probablemente, usted aprenderá a factor trinômios de segundo grado, que son trinômios escritos en la forma ax + bx + c. Hay varios trucos que se pueden aplicar a diferentes tipos de trinômios cuadráticas, pero obtendrá mejor y más rápido con la práctica. Polinomios de grados superiores, con términos como ox, no siempre se pueden resolver con los mismos métodos, pero a menudo se puede recurrir a la factorización simple o sustitución de los términos para convertirlos en los problemas que se pueden resolver con cualquier fórmula cuadrática .

método 1

Factoring x + bx + c

Aprender a propiedad distributiva (también conocido como FOIL en Inglés) para multiplicar expresiones como (x + 2) (x + 4). Antes de comenzar el factoring, es bueno saber cómo funciona esto:

multiplicar la primera (términos:x+2) (x+4) = x + __
Multiplicar los términos de fuera: (x+2) (x +4) = X +4x + __
Multiplicar los términos de dentro de(X +2) (x+4) = x + 4x +2x + __
multiplicar pasado términos: (x +2) (X +4) = X4 + x + x2 +8
Simplificar: x +4x 2x ++8 = x +6x+8

Comprender la factorización. Al multiplicar dos binomios entre sí utilizando el distributiva, sólo con un trinomio (una expresión con tres términos) en la forma ax +bx +c, en la que "a", "b" y "c" son números comunes. Si se parte de una ecuación de la misma manera, se puede factorizar lo cual se convertirá de nuevo en dos binomios.

Si la ecuación no está escrito en ese orden, tomar los términos a la posición adecuada. Por ejemplo, reescribir 3x - 10 + x como x + 3x - 10.

Como el mayor exponente es 2 (x, esta expresión se llama "cuadrático".

Reserva un espacio para la respuesta del método presentado. Por ahora, acaba de escribir (__ __) (__ __) El espacio dedicado a responder. Llenamos en estos campos pronto.

No coloque el + o - entre los términos de blanco todavía, porque no sabemos lo que va a ser utilizado.

Rellene los primeros términos. En problemas sencillos, en el que el primer término de su tríada es sólo x, la posición de los primeros términos será siempre x y x. Estos son los factores de x como x por x = x.

Nuestro ejemplo, x + 3x - 10, comienza con x, entonces podemos escribir:

(__ X) (__ x)

Vamos a ver los problemas más complicados en la siguiente sección, incluyendo trinômios que comienzan con un término como 6xo -x. Por ahora, sigue el problema de ejemplo.

Usar la factorización de adivinar los últimos términos. Si volver a leer el método utilizado inicialmente, se verá que se multiplican los últimos términos da el último término en el polinomio (que no X). Así que para el factor tenemos que encontrar dos números que se multiplican para formar el último término.

En nuestro ejemplo, x + 3x - 10, este último término es de -10.

¿Cuáles son los factores de -10? ¿Qué dos números multiplicado juntos dan lugar a -10?

Hay algunas posibilidades: -1 10 veces, 1 a -10, -2 veces 5, o 2 veces -5. Tenga en cuenta estos pares en algún lugar para no olvidar.

No cambie la respuesta todavía. Todavía se ve así: (__ X) (__ x).

posibilidades de ensayo, que trabajan con la multiplicación de fuera y por dentro. Hemos reducido los últimos términos algunas posibilidades. Pruebe cada multiplicando los términos externos e internos, a continuación, comparando los resultados con nuestra trinomio. Por ejemplo:

El término con "x" nuestro problema original es "3x"Entonces este es el valor que queremos obtener la prueba.

Prueba -1 y 10: (1-x) (x + 10). Valor fuera + = Dentro de 10x - x = 9x. No.

Prueba 1 y -10 (x + 1) (x-10). -10x + X = -9x. Esto no es correcto. De hecho, después de las pruebas 1 y 10, usted sabe la respuesta 1 y -10 va a ser todo lo contrario del resultado anterior: -9x en lugar de 9x.

Prueba -2 y 5 (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Esto coincide con el polinomio original, entonces esta es la respuesta correcta: (X-2) (x + 5).

En casos sencillos como éste, cuando hay una constante en frente de x, se puede utilizar un acceso directo: sólo tiene que añadir los dos factores y poner una "x" entonces (-2 + 5 → 3x). Esto no funcionará con problemas más complicados, por lo que es bueno recordar la ruta completa se ha descrito anteriormente.

método 2

Factoring trinômios más elaborados

Consulte la factorización sencilla para facilitar los problemas más elaborados. Digamos que usted necesita un factor + 3x 9x - 30. Busque un número de factorizar los tres términos (la "máximo común divisor" ellos, o MDC). En este caso, es 3:

= 3x (3) (x)
9x = (3) (3 x)
-30 = (3) (- 10)
Por lo tanto, 3x 9x + - 30 = (3) (x + 3x-10). Podemos factorizar la nueva tríada utilizando los pasos desde el principio de este artículo. La respuesta es (3) (x-2) (x + 5).

Buscar los factores más elaboradas. A veces, el factor puede implicar las variables, o puede que tenga que factorizar un par de veces para encontrar la expresión más simple posible. He aquí algunos ejemplos:

2xy + 14xy + 24y = (2y)(X + 7x + 12)

x + 11x - 26x = (X)(X + 11x - 26)

-x + 6x - 9 = (-1)(X - 6x + 9)

No olvide tener la nueva tríada de nuevo utilizando los pasos desde el principio. Compruebe su respuesta y encontrar ejemplo de problemas similares cerca del final de este artículo.

Problemas con un número delante de x. Algunos trinômios cuadráticas no pueden simplificarse para lograr el tipo de problema más fácil. Aprender a resolver problemas tales como 3x + 10x + 8 y luego practicar a solas con este tipo de problemas al final de este artículo:

Montar la respuesta: (__ __) (__ __)

Los primeros términos tienen una "x" cada uno y, cuando se multiplica resultado de 3x. Sólo hay una opción posible aquí: (3x __) (__ x).

Lista de factores de 8. Nuestras opciones son 1 veces 8 ó 2 veces 4.

Prueba de ellos usando los términos de fuera y por dentro. Tenga en cuenta que el orden de los factores importantes, ya que el término fuera se multiplica por "3x", No "x". Probar todas las posibilidades de conseguir un buen resultado en el plazo de + 10x (de acuerdo con el problema original):

(3x + 1) (x + 8) x → = 24x + 25x no.

(3x + 8) (x + 1) → 11x = 3x + 8x no.

(3x + 2) (x + 4) = 14x 12x → 2x + no.

(3x + 4) (x + 2) → = 6x + 4x 10x sí, este es el factor correcto.

Imagen titulada Factor Trinomios Paso 10

Consulte la sustitución por un mayor grado de trinômios. Su libro de matemáticas puede sorprender con un alto exponente de la ecuación x, incluso después de que ya haya utilizado la factorización sencilla para aliviar el problema. Trate de reemplazar con una nueva variable que transforma la ecuación en algo que sabes que resolver. Por ejemplo:

x + 13x + 36x

= (X) (x + 13x + 36)

Vamos a inventar una nueva variable. Diremos que y = x y hacer las sustituciones:

(X) (+ 13y y + 36)

= (X) (y + 9) (y + 4). Ahora, volver a usar la variable original:

= (X) (x + 9) (x + 4)

=(X) (X ± 3) ($ ± $ x 2)

método 3

Factoring casos especiales

Imagen titulada Factor Trinomios Paso 11

Busque números primos. Compruebe que la constante en el primer o tercer término del trinomio es un número primo. Un número primo puede ser dividido uniformemente por sí mismo y 1, por lo que sólo hay un posible par de factores binomiais.brgt;

Por ejemplo, x + 6x + 5 "5" es un número primo, por lo que el binomio debe verse como: (5 __) (__ 1).
En el problema de 3x + 10x + 8 3 es un número primo, por lo que el binomio debe verse como: (3x __) (__ x).
Para el problema de 3x + 4x + 1, tanto "3" como "1" Ellos son números primos, por lo que la única solución posible es (3x + 1) (x + 1). (Todavía debe realizar esta multiplicación para comprobar su cálculo debido a que algunas expresiones que no se pueden tener - por ejemplo, 3x2 + 100x + 1 no tiene factores).

Imagen titulada Factor Trinomios Paso 12

Asegúrese de que el trinomio es un cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto puede ser un factor en dos binomial idénticos, y el factor se suele escribir como (x + 1) en lugar de (x + 1) (x + 1). Estas son algunas de las más comunes que tienden a aparecer en problemas:

x + 2x + 1 = (x + 1) y x-2x + 1 = (x-1)

x + 4x + 4 = (x + 2) y X-4x + 4 = (x-2)

x + 6x + 9 = (x + 3) y x-6x + 9 = (x-3)

En un trinomio cuadrado perfecto en la forma de ax + bx + c, los términos "la" y "c" son siempre cuadrada positiva perfecta (# 1, 4, 9, 16 o 25), y el término b (positivo o negativo) es siempre igual a 2 (√a * √c).

Imagen titulada Factor Trinomios Paso 13

Asegúrese de que no hay solución. No todos los trinômios se pueden factorizar. Si usted está atascado en un trinomio de segundo grado (ax + bx + c), utilice la fórmula cuadrática para encontrar el resultado. Si las respuestas son sólo la raíz cuadrada de un número negativo, entonces no hay solución real, así que no hay factores.

Para trinômios cuadráticas no utilizar el criterio de Eisenstein, que se describe en la sección de consejos.

Respuestas y ejemplos de problemas

Las respuestas a los problemas de factorización más elaborados. Estos son los problemas de la parte de trinômios "más elaborado". Ya hemos simplificado, por lo que es un problema más fácil. Ahora, trata de resolverlos utilizando los pasos desde el principio, a fin de comprobar sus cálculos aquí:
(2y) (x + 7x + 12) = (X + 3) (x + 4)
(X) (x + 11x - 26) = (13 + x) (x-2)
(-1) (X - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
Tratar de resolver los problemas de factorización más complejas. Estos problemas tienen un factor común en cada término que debe tenerse en cuenta en primer lugar. Resalte el espacio después del signo igual para ver la respuesta y comprobar sus cálculos aquí:
3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← resaltar este espacio para ver su respuesta
-5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Practica con problemas difíciles. Estos problemas no pueden tenerse en cuenta en las ecuaciones más fácil, entonces usted tendrá que preparar una respuesta en forma de (_x + __) (__ _ x +) por medio de pruebas:
2x + 3x = 5- (2x + 5) (x-1) ← destacar para ver la respuesta
9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Pista: Es posible que tenga que probar más de un par de factores a 9x).

consejos

Si usted no sabe factor de un trinomio de segundo grado (ax + bx + c), se puede usar la fórmula cuadrática para encontrar el valor de x.
Aunque usted no sabe cómo hacer esto, puede utilizar el criterio de Eisenstein para determinar rápidamente si un polinomio es irreducible y no puede tenerse en cuenta. Este criterio se aplica a cualquier polinomio, pero funciona especialmente bien con trinômios. Si hay un número primo "p" que también dividir los dos últimos términos y satisface las siguientes condiciones, entonces el polinomio es irreductible:

El término constante (no variable) es un múltiplo de p, pero no p.
El término principal (por ejemplo, "la" en ax + bx + c) no es un múltiplo de p.
Por ejemplo, 14x + 45x + 51 es irreducible, porque no es un número primo (3), que también se divide 45 y 51, pero no 14, y 51 no se pueden dividir de manera uniforme por 3.

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Si bien esto es cierto para ecuaciones cuadráticas, trinômios factorizable no son necesariamente el producto de dos binomios. Por ejemplo: x = 46 + + 105x (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).