6 maneras para factorizar polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas)

Métodos 6:Ensayo y error descomposición Triple juego Diferencia de dos raíces fórmula cuadrática Usando una calculadora

Un polinomio contiene una variable (x) elevado a una potencia, conocido como grado, y varios términos y / o constantes. Factorizar un medio de división de polinomios en la expresión expresiones más pequeñas que se multiplican. Este conocimiento se estudia desde Álgebra I, y puede ser difícil de entender si no se tiene un conocimiento matemático de ese nivel.

pasos

comienzo

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 1

Monte expresión. El formato por defecto de la ecuación de segundo grado es:

ax + bx + c = 0
Para empezar, ordenando a los términos de la ecuación de baja potencia, así como en el formulario de arriba. Por ejemplo, pegue-

6 + 6x + 13x = 0
La expresión se reordenan de manera que se puede trabajar más fácilmente cambiando la ubicación de términos:

6x + 13x + 6 = 0

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 2

Encuentra la forma factorizada usando uno de los siguientes métodos. Factorizar un polinomio en los resultados de dos expresiones más pequeñas que se pueden multiplicar para producir el polinomio original de:

13x + 6x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En este ejemplo, (2x + 3) y (3x + 2) son factores de la expresión original, 6x + 13x + 6.

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 3

Echa un vistazo a los resultados! Se multiplican los factores identificados. Después, simplemente combinar los términos semejantes. Inicio con:

(2x + 3) (3x + 2)
Vamos a probar usando el método FOIL (Inglés para En primer lugar En el exterior, el interior, el último - en primer lugar el exterior, entonces el interior), también llamada la propiedad distributiva de la multiplicación, obteniendo:

6x + 4x + 9x + 6
Ahora puede añadir 4x y 9x, son términos semejantes. Usted sabe que los factores son correctas porque se obtuvo la ecuación original:

6x + 13x + 6

método 1

Ensayo y error

Si usted tiene un polinomio bastante simple, que puede ser capaz de descubrir los factores por sí solo para mirarlo. Por ejemplo, después de practicar muchos matemáticos son capaces de identificar la expresión 4x + 4x + 1 tiene los factores (2x + 1) y (2x + 1) después de trabajar mucho con esta expresión antes. Pero por supuesto, esto no va a ser tan fácil con los polinomios más complicados. En este ejemplo vamos a utilizar una expresión menos comunes:

2x + 3x - 8

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 4

Enumerar los factores de términos e c. Utilizan el formato estándar ax + bx + c = 0, identificar los términos de e c y la lista de sus factores. 2x + 3x - 8, esto significa:

a = 3 y tiene un número de factores: 1 * 3
c = -8 y tiene cuatro grupos de factores: -2 * 4 * 2 -4, -8, y -1 * 1 * 8.

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Montar dos conjuntos de paréntesis vacíos. Va a llenarlos con las constantes de cada expresión:

(X) (X)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 6

Llenar los espacios en blanco en frente de las x con un par de posibles factores de valor a. Para el término en el ejemplo utilizado, 3x, sólo hay una posibilidad:

(3x) (1x)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 7

Complete los dos espacios después de las x con un par de factores para las constantes. Imagínese que usted elige los números 8 y 1. escribirlas:

(3X 8) (X 1)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 8

Decidir qué signos (más o menos) debe ir entre las variables x y números. En función de las señales en la expresión original, se puede averiguar cuáles deben ser los signos de las constantes. Vamos a llamar a las dos constantes de los dos factores h k:

Si ax + bx + c entonces (+ h x) (x + k)
Si ax - bx - c o ax + bx - c, entonces (x - h) (x + k)
Si ax - bx + c entonces (x - h) (x - k)
Por ejemplo, 3x + 2x - 8, las señales debe ser: (x - h) (x + k), resultando en dos factores:

(3x + 8), (x - 1)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 9

Prueba de las opciones utilizando la propiedad distributiva. Una primera prueba rápida de realizar es ver si los términos de los medios se corresponden con los valores correctos. Si no, puede que haya elegido los factores equivocados c. Vamos a tratar de responder:

(3x + 8) (x - 1)
Al realizar la multiplicación, obtendrá:

3x - 3x + 8x - 8
Al simplificar esta expresión por la suma de términos semejantes (3x) y (8x), se obtiene:

3x - 3x + 8x - 8 + = 3x 5x - 8
Ahora, sabemos que tenemos que identificar los factores equivocados:

+ 3x 5x - 2x + 3x ≠ 8-8

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 10

Reemplazar los factores si es necesario. En el ejemplo utilizado, vamos a tratar de usar 2:04 en lugar de 1 y 8:

(3x + 2) (x - 4)
Ahora, el término c es igual a -8, pero el producto externo / interno (3x * -4) y (2 * x) es igual a -12X y 2x, que no se pueden combinar para crear el término correcto b + 2x.

-= + 12x 10x 2x
10x ≠ 2x

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 11

Invertir el orden si es necesario. Vamos a tratar de mover el 2 y el 4:

(3x + 4) (x - 2)
Ahora, el término c (4 * 2 = 8) sigue siendo correcta, pero los productos internos / externos son -6x y 4x. Mediante la combinación de ellos:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xEstamos cerca de la 2x, pero la señal es incorrecta.

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 12

Comprobar los signos de ser necesario. Mantenga el mismo orden, pero reemplazar a uno con el signo menos:

(3x - 4) (x + 2)
Ahora, el término c sigue siendo correcta, pero los productos externas / internas son (6x) y (-4x). cómo:

6x - 4x = 2x
2x = 2xAhora puede reconocer el término positivo 2x el problema original. Estos deberían ser los factores correctos.

método 2

descomposición

Este método identifica todos los posibles factores de términos e c y los utiliza para averiguar cuáles deben ser los factores. Si los números son demasiado grandes u otros métodos parecen más complicadas, utilice este método. Vamos a usar el ejemplo:

6x + 13x + 6

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 13

Multiplicar los términos e c. En este ejemplo, tanto igual a 6.

6 * 6 = 36

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 14

Descubrir el valor de la expresión b factoring y pruebas. Usted tiene que encontrar dos números que son el producto de los factores a * y c son también equivalente al término b (13) cuando se añade.

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 15

Reemplazar los dos números obtenidos en la ecuación como la suma de la expresión b. Vamos a usar y k h para representar los dos números obtenidos, 4 y 9:

ax + kx + HX + c
6x + 4x + 9x + 6

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 16

Factorizar el polinomio por el grupo. Organizar la ecuación de manera que se puede factorizar el máximo común divisor de los dos primeros y los dos últimos términos. Ambos grupos por coeficientes deben ser iguales. Algunos factores comunes importantes y ponerlos entre paréntesis junto al grupo fatorado- el resultado será los dos factores:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

método 3

Triple juego

De manera similar a la descomposición, el método "Triple juego" examina los posibles factores de los productos de los términos e c, luego usarlos para descubrir el valor de b. Como ejemplo, considere la siguiente ecuación:

8x + 10x + 2

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 17

Multiplicar los términos e c. Esto le ayudará a identificar el alcance de la expresión b, y el método de descomposición. En este ejemplo, es igual a 8 y c es 2.

8 * 2 = 16

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 18

Encuentra dos números con esos números como el producto de las cuales y la suma es equivalente al término b. Este paso es idéntico al método de la descomposición - es necesario probar y rechazar candidatos para las constantes. El producto de términos e c es 16, y el término c es igual a 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 19

Tome estos dos números y su sustitución en la fórmula de la prueba "Triple juego". Tomar los dos números de los pasos anteriores - llamémosles h k - y ponerlos en esta expresión:

((X + h) (x + k)) / a

En este caso, se obtiene:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 20

Ver cuál de los dos términos en el numerador es divisible uniformemente a. En este ejemplo, estamos probando si (8x + 8) o (8x + 2) se puede dividir por 8. (8x + 8) es divisible por 8, por lo que vamos a dividir este término por a y dejar el resto como son.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
El término que estamos ahorrando aquí está el resto de la división por el término el (x + 1)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 21

Tome el mayor factor común de uno o ambos términos, si los hubiere. En este ejemplo, el segundo término tiene el mayor número factor común 2, como 8x + 2 = 2 (1 + 4x). Combinar esta respuesta con la palabra identificado en el paso anterior. Estos son los factores de la ecuación.

2 (x + 1) (x4 + 1)

método 4

Diferencia de dos raíces

Algunos coeficientes en el polinomio pueden ser identificados como "raíces"O el producto de dos números. La identificación de estas raíces le permite al factor de polinomios mucho más rápido. Considere la ecuación:

27x - 12 = 0

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 22

Factorizar el máximo común divisor, si es posible. En este caso, podemos ver que 27 y 12 son tanto divisible por 3, luego separarlos:

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 23

Identificar si los coeficientes de la ecuación son números cuadrados. Para utilizar este método, debe ser capaz de tomar la raíz cuadrada exacta de los términos. Tenga en cuenta que los signos menos se dejan de lado, ya que estos números son cuadrados que pueden ser productos de dos números positivos o negativos.

= 3x 3x y 9x * 4 = 2 * 2

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 24

El uso de las raíces cuadradas identificados, escribir factores. Tomar los valores de e Etapa C anterior (a = 9 y c = 4) y calcular las raíces cuadradas de ellos - √3 y a = √c = 2. Son las expresiones de los coeficientes de los factores:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (2 + 3x) (3x - 2)

método 5

fórmula cuadrática

Si otros métodos fallan y la ecuación no se descompone en factores uniformemente, utilice la fórmula cuadrática. Consideremos el siguiente ejemplo:

x4 + x + 1 = 0

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 25

Reemplazar los valores correspondientes de la fórmula cuadrática:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Obtenemos la expresión:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 26

Calcular el valor de x. Debe obtener dos valores para x. Como se mostró anteriormente, se obtienen dos respuestas:

x = -2 + √ (3) -2 ó x = - √ (3)

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 27

Utilice los valores de x para determinar los factores. Reemplazar los valores de x. Ellos serán los factores. Si identificamos las dos respuestas como h k, tenemos que escribir los factores de la siguiente manera:

(X - h) (x - k)
En este caso, la respuesta final es:

(X - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

método 6

Usando una calculadora

Los casos que se pueden utilizar, una calculadora gráfica facilita en gran medida el proceso de descomposición en factores, sobre todo en las pruebas. Las siguientes instrucciones son para una calculadora gráfica. Consideremos el siguiente ejemplo:

y = x - x - 2

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 28

Introduzca la ecuación en la calculadora. Que va a utilizar un solucionador de ecuaciones, también conocido como el [Y =].

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 29

Monte representar la ecuación en la calculadora. Después de entrar en la ecuación, pulse la tecla [GRÁFICO] - debería ver un arco representa la ecuación (y será un arco, ya que se trata de polinomios).

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 30

Ver que el arco interseca con el eje x. Como las ecuaciones polinómicas se escriben normalmente como ax + bx + c = 0, estos son los dos valores x que causan que la expresión es igual a cero:

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Si no puede identificar donde la gráfica cruza el eje x, pulse [2nd] y luego [TRACE]. Presione [2] o seleccione "cero". Deslice el control deslizante a la izquierda de la intersección y pulse [ENTER]. Deslice el control deslizante a la derecha de la intersección y pulse [ENTER]. Deslizar el cursor más cercano a la intersección y pulse [ENTER]. La calculadora se encuentra el valor de x. Haga lo mismo con la otra intersección.

Imagen titulada Factor polinomios de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) Paso 31

Reemplazar los valores de x obtenido en la etapa anterior en dos expresión factor. Mediante el uso de los dos valores x (h k) se utilizará el término:

(X - h) (x - k) = 0
Así que los dos factores deben ser:

(X - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

consejos

Si usted tiene una calculadora TI-84 (gráficos), hay un programa llamado "SOLUCIONADOR" la solución de una ecuación cuadrática. También se ocupa de los polinomios de otros grados.
Si no existe un término, el coeficiente es 0. Puede ser útil para volver a escribir la ecuación si lo hace, por ejemplo: x = x + 6 + 6 + 0x.
Si un polinomio factorizado usando la fórmula cuadrática y las respuestas obtenidas con los radicales, convertir los valores de x para las fracciones comprobarlas.
Si el término coeficiente no ha escrito, es 1, ó x = 1x.
Después de suficiente práctica, con el tiempo usted será capaz de factorizar polinomios cabeza. Hasta entonces, ellos en un papel.

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Si usted está aprendiendo este concepto en una clase de matemáticas, prestar atención a los consejos del maestro y que no sólo tiene que utilizar su método favorito. Su profesor puede solicitar el uso de un método en particular en una prueba o no permitir el uso de una calculadora gráfica.