Cómo Deducir la fórmula de Bhaskara: 14 Pasos

2 Métodos:Deducir la fórmula de Bhaskara Más información sobre cómo "completando el cuadrado"

Una de las herramientas más importantes que un estudiante debe aprender álgebra es la fórmula Cuadrática, o x = (- b ± √ (b2 - 4ac)) / 2a. Con esta fórmula, puede resolver ecuaciones de segundo grado (o secundaria) de manera mucho más simple basta con sustituir los valores de los coeficientes a, y b c y resolver operaciones aritméticas. aunque "saber" la fórmula es suficiente para la mayoría de los estudiantes, "entender" ya que se deriva (en otras palabras, de donde viene) es algo totalmente diferente. De hecho, la fórmula se deriva usando una técnica llamada "completando el cuadrado" que tiene varias otras aplicaciones en las matemáticas.

método 1

Deducir la fórmula Bhaskara

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 1

Comience con la forma general de una ecuación de segundo grado. Todas las ecuaciones de segundo grado (o secundaria) tienen la forma ax + bx + c = 0. Para comenzar a derivar la fórmula Bhaskara, escribir la ecuación general en una hoja de papel, dejando suficiente espacio debajo de ella. No reemplace los coeficientes a, o b c por Números queremos trabajar con la forma general de la ecuación.
La palabra "cuadrático" se refiere al hecho de que el término
x se eleva a quadrado- "patio" Se trata de la misma raíz en latín que aparece en "plaza". Independientemente de los valores utilizados para los coeficientes a, y b c, una ecuación se puede escribir en forma de par, que es una ecuación de segundo grado. La única excepción es cuando el valor de es una en cero este caso, como el término x desaparece de la ecuación, que dejará de ser cuadrática.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 2

Dividir ambos lados de la ecuación por a. Para derivar la fórmula Bhaskara, es necesario aislar el término x en un lado de la igualdad. Para ello vamos a utilizar la cancelación del procedimiento conocido en álgebra básica para mover gradualmente el resto de las variables de la ecuación al otro lado de la igualdad. Vamos a empezar dividiendo el lado izquierdo de la ecuación la variable a. Después de las operaciones, escribir la nueva ecuación en la línea de abajo.

Dividiendo ambos lados por que no se olvide de aplicar la propiedad distributiva de la división, lo que significa dividir el lado izquierdo de la ecuación por es el mismo que dividir cada palabra individualmente.

Después de las operaciones, obtendremos la ecuación + X (b / a) x + c / a = 0. Tenga en cuenta que la la multiplicación de que el término x fue cancelada y que el lado derecho de la ecuación sigue siendo cero (cero dividido por cualquier número distinto de cero es igual a cero).

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 3

sustraer c / a de los dos lados de la ecuación. Ahora, vamos a eliminar el término independiente c / el lado izquierdo de la ecuación. Simplemente restarlo de ambos lados de la ecuación.

Después de esta operación, tenemos la ecuación X + (b / a) x = c / a. Todavía hay dos términos x en el lado izquierdo de la ecuación, pero el lado derecho ya está empezando a tomar forma.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 4

algunos b / 4a en ambos lados de la ecuación. Es a partir de aquí que el proceso es un poco más complejo. Tenemos dos términos x diferentes en el lado izquierdo de la ecuación: A x y x. A primera vista parece imposible para simplificar porque las reglas del álgebra nos impiden la adición de términos con variables de diferentes exponentes. Sin embargo, vamos a utilizar un método práctico llamada "completando el cuadrado" para continuar con nuestra resolución.

Para completar el cuadrado, algunos b / 4a en ambos lados de la ecuación. Recuerde que el álgebra básica nos permite añadir cualquier cosa, desde uno de los lados de la igualdad desde Sume lo mismo en el otro lado, por lo que esta operación es perfectamente válido. Su ecuación debería tener este aspecto: X + (b / a) x + b / 4a = c / a + b / 4a.

Para entender mejor cómo el método de completar el cuadrado, vaya a la siguiente sección.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 5

Factor lado de la ecuación a la izquierda. Ahora, nos centramos en el lado izquierdo de simplificarlo. El lado izquierdo de la ecuación debe ser como este: x + (b / a) x + b / 4a. Si nos fijamos en los términos "(B / a)" y "b / 4a" como los coeficientes "m" y "n"Respectivamente, la ecuación se puede transformar en x + mx + n, que se supone que puede tenerse en cuenta en (x + p), Donde p es igual a m 1/2 y multiplicado por la raíz cuadrada de n.

Esto significa que podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación x + (b / a) x + b / 4a, para obtener (X + (b / 2a)).

Esto es cierto debido a que (x + (b / 2a)) = x + 2 (b / 2a) x + (b / 2a) = x + (b / a) x + b / 4a, nuestra ecuación original.

La factorización es una valiosa herramienta de álgebra, pero a veces puede ser muy compleja. Para una explicación más detallada de lo que es el factoring y la forma de utilizarlo, visita Artículo foro.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 6

Utilice el común denominador 4a en el lado derecho de la ecuación. Olvidemos por ahora el lado izquierdo y centrarse en encontrar un denominador común para los términos de la derecha. Por lo que puede simplificar los términos fraccionarias de la derecha, es necesario que tengan un denominador común.

Esta operación bastante es simplemente -c / a por 4a / 4a para dar -4ac / 4a. Ahora, el lado derecho de la ecuación debe ser -4ac / 4a + b / 4a.

Tenga en cuenta que estos términos tienen ahora el mismo denominador 4a, por lo que podemos sumarlos y llegar a (B - 4ac) / 4a.

No es necesario repetir esta multiplicación en el lado izquierdo de la ecuación. Como multiplicar por un término 4a / 4a es lo mismo que multiplicar por un (cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es igual a uno), no estamos cambiando la ecuación, que pronto no habrá necesidad de compensar al otro lado de la igualdad.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 7

Tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Nuestra ecuación debería ser ahora así: (X + b / 2a) = (b - 4ac) / 4a). Como nuestro objetivo es aislar el término x en un lado de la igualdad, el siguiente paso es tomar la raíz cuadrada de ambos lados.

Después de esta operación, se x + b / 2a = ± √ (b - 4ac) / 2a. No se olvide de signo (números negativos también pueden ser cuadrado).

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 8

Por último, resta b / 2a en ambos lados de la ecuación. En este punto, el término x es casi solo en el lado izquierdo. Ahora, no solamente a restar b / 2a en ambos lados de dejarlo completamente aislado. Después de las operaciones, obtendremos la ecuación x = (-b ± √ (b - 4ac)) / 2a. Suena familiar? Felicidades, usted acaba derivan la fórmula Bhaskara!

Vamos a romper este último paso un poco más. restar b / 2a en ambos lados, nos x = ± √ (b - 4ac) / 2a - b / 2a. como b / 2a y √ `(b - 4ac) / 2a tienen el denominador común 2a, podemos sumarlos y llegar a la división ± √ (b - 4ac) - b / 2a, o simplificando, (-b ± √ (b - 4ac)) / 2a.

método 2

Más información sobre cómo "completando el cuadrado"

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 9

Comience con la ecuación (x + 3) = 1. Si usted no estaba familiarizado con el método utilizado para derivar la fórmula Bhaskara para iniciar la lectura de este tutorial, probablemente debería seguir siendo un poco confundido sobre lo que significa "completando el cuadrado". No Worry esta sección, se entiende por el fondo de este proceso. Vamos a empezar con una ecuación polinómica factorizada: (X + 3) = 1. En los siguientes pasos, vamos a utilizar esta sencilla ecuación como un ejemplo para explicar por qué es necesario "completando el cuadrado" para derivar la fórmula Bhaskara.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 10

Determinar las raíces de x. Encontrar las raíces de (x + 3) = 1 es relativamente simple, simplemente tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la misma y luego aislar el x. Echa un vistazo a la etapa de resolución a paso:

(X + 3) = 1

(X + 3) = √1

= X + 3 ± 1

x = ± 1-3

x = -2 -4

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 11

Expandir la ecuación. Ya hemos encontrado que las raíces x, pero aún no ha terminado. Esta vez, nos "abierto" la ecuación (x + 3) = 1, volviendo a escribir en la forma (x + 3) (x + 3) = 1. Vamos a ampliar la ecuación los términos que se multiplican los soportes juntos. Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación, se multiplica el primer miembro de la primera abrazadera para el primer miembro del segundo grupo y luego el segundo miembro de la segunda parêntese- luego multiplicar el segundo miembro de la primera abrazadera para el primer miembro del segundo grupo y luego el segundo .

Aplicando la propiedad distributiva y la liquidación de operaciones, tenemos:

(X + 3) (x + 3)

(X × x) + (x × 3) + (3 x x) + (3 × 3)

3x + x + x3 + 9

x + 6x + 9

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 12

Ponga la ecuación en forma estándar. Ahora nuestra ecuación será la siguiente: x + 6x + 9 = 1. Tenga en cuenta que es casi igual a la forma estándar de una ecuación de segundo grado. Por lo que es en la forma estándar, necesitamos a cero fuera de un lado de la ecuación. restar Una de las dos partes tendrá x + 6x + 8 = 0.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 13

Recauchutado. Vamos a repasar lo que sabemos:

La ecuación (x + 3) = 1 tiene dos raíces x: -2 y -4.

La ecuación (x + 3) = 1 se puede reescribir como x + 6x + 9 = 1, o en la forma x + 6x + 8 = 0 (cuadrática).

Por lo tanto, la ecuación cuadrática x + 6x + 8 = 0 es -2 y -4 como raíces x. Si anula estos valores x, se verá que los dos cero ecuación, por lo que también es correcto para la forma cuadrática.

Imagen titulada derivar la fórmula cuadrática Paso 14

entender cómo "completando el cuadrado". Como hemos visto, es mucho más fácil de resolver una ecuación de segundo grado después de pasarlo a la forma (x + a) = b. Sin embargo, con el fin de transformar una ecuación de segundo grado en su forma factorizada, puede ser necesario añadir o restar cualquier valor en ambos lados de la ecuación. En general, para una ecuación de la forma x + bx + c = 0 ", el valor del coeficiente "c" debe ser igual a (b / 2) de manera que la ecuación puede ser un factor a (x + (b / 2)). Si este no es el caso, hay que añadir o restar los números a cada lado de la ecuación es posible factorizar la ecuación. Esto es lo que llamamos completando el cuadrado, y eso es exactamente lo que hicimos en la sección anterior para derivar la fórmula Bhaskara.

Aquí hay algunos ejemplos más de ecuaciones quadráticas- en cuenta que en cada uno de ellos, el coeficiente c es igual al valor del coeficiente b dividido por dos y luego al cuadrado.
x + 10x + 25 = 0 = (X + 5)
x - 18x + 81 = 0 = (X + -9)
x + 7x + 12.25 = 0 = (X + 3,5)

He aquí un ejemplo de una ecuación de segundo grado en el que el coeficiente de c no vale la pena el cuadrado de la mitad del coeficiente b. En este caso, debe agregar un valor a cada lado de la igualdad con el fin de realizar fatoração- en otras palabras, "completando el cuadrado".
x + 12x + 29 = 0
x + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
x + 12x + 36 = 7
(X + 6) = 7