3 maneras de calcular una raíz cuadrada de la mano

Método 3:El uso de Factoring en números primos Cálculo de las raíces manualmente Square Al explicar el proceso de

Antes de la llegada de las calculadoras, los estudiantes y profesores tenían que calcular las raíces cuadradas de forma manual. Hay varias maneras de calcular la raíz cuadrada de un número a mano. Algunos métodos que dan un resultado aproximado, mientras que otros pueden llevar la cantidad exacta. Aprender a encontrar la raíz cuadrada usando sólo operaciones simples.

método 1

El uso de Factoring en números primos

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular mano Paso 1

Se divide el número de cuadrados perfectos factores. Este método utiliza los factores de un número para encontrar la raíz cuadrada (en función del número, el resultado puede ser valor aproximado o exacto). la una serie de factores son los conjuntos de números, se multiplicaron como resultado la misma. Por ejemplo, se puede decir que los factores del número 2 son 8 y 4 como 2 x 4 = 8. Sin embargo, perfectos raíces cuadradas son números enteros que son productos de otros números enteros. Por ejemplo, 25, 36, y 49 son perfectos porque las raíces 5, 6, y 7, respectivamente. factores cuadrados perfectos son también factores cuadrados perfectos. Para comenzar el proceso de factorización, es necesario para reducir un número de factores perfectos cuadrados.
Veamos nuestro ejemplo. Si usted quiere encontrar la raíz cuadrada de 400 manualmente. Para empezar, se divide el número de cuadrados perfectos factores. Desde 400 es un múltiplo de 100, sabemos que también es divisible por 25 - una raíz perfecta. Al hacer el recuento de personas, tenemos 25 veces 16 es igual a 400. Y 16, casualmente, también es una raíz perfecta. Por lo tanto, los factores cuadrados perfectos de 400 son 25 y 16, porque el 25 × 16 = 400.
Uno puede describir la operación anterior como: Raíz cuadrada (400) = Raíz cuadrada (25 × 16)

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular mano Paso 2

Tomar los valores de la raíz cuadrada de los factores cuadrados perfectos. La propiedad raíces perfecta establece que para cualquier número e b, Raíz cuadrada (A × B) = Raíz cuadrada (a) × Raíz cuadrada (b). Debido a esta propiedad, ahora podemos encontrar las raíces cuadradas de los factores cuadrados perfectos y multiplicarlas para obtener nuestra respuesta.

En nuestro ejemplo, podríamos calcular las raíces cuadradas de 25 y 16. Mira:

Raíz cuadrada (25 × 16)

Raíz cuadrada (25) x raíz cuadrada (16)

5 x 4 = 20

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 3

Si el número no es perfecta factorización, disminuir su respuesta en los términos más simples. En la vida real, las raíces cuadradas no son números redondos con factores cuadrados perfectos como el número 400. En tales casos, puede que no sea posible encontrar la respuesta exacta como un entero. Pero para encontrar factores cuadrados perfectos, se puede obtener una respuesta más baja, más simple y más fácil de ser trabajada. Para ello, reducir el número a una combinación de factores cuadrados perfectos y los factores cuadrados imperfectos, y luego simplificar.

Vamos a usar la raíz cuadrada de 147 como un ejemplo. Este número no es el resultado de dos cuadrados perfectos, entonces no podemos obtener un valor entero exacto. Sin embargo, 147 es el producto de un cuadrado perfecto y otro número - 49 y 3. Podemos utilizar esta información para simplificar nuestra respuesta:

Raíz cuadrada (147)

= Raíz cuadrada (49 x 3)

raíz cuadrada = (49) × raíz cuadrada (3)

= 7 × Raíz cuadrada (3)

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 4

Si es necesario, encontrar un valor aproximado. Con la raíz cuadrada simplificado, por lo general es más fácil conseguir un valor aproximado deduciendo el valor de raíces cuadradas que permanecen y se multiplican ellos. Una forma de aproximar los valores guía es encontrar los cuadrados perfectos en ambos lados de su raíz cuadrada. Así que usted puede saber que el valor decimal del número en su raíz cuadrada es entre estos dos números, por lo que es posible la retención de la misma.

Volvamos a nuestro ejemplo. Desde el 2 = 4 y 1 = 1, sabemos Raíz cuadrada (3) está comprendida entre 1 y 2 - probablemente más cerca de 2 a 1. Se deduce que es 1,7. Hacemos 1,7 x 7 = 11.9 Si conferirmos este trabajo en la calculadora, podemos ver que tenemos muy cerca de la respuesta 12.13.

Esto funciona para un gran número también. Por ejemplo, la raíz cuadrada (35) puede ser de entre 5 y 6 (probablemente más cercano a 6). 5 y 6 = 25 = 36 35 es entre 25 y 36. Por lo tanto, su raíz cuadrada debe estar entre 5 y 6. Como 35 es más cercano a 36, se puede deducir que su raíz cuadrada es sólo ligeramente menor que 6. Al comprobar con una calculadora, podemos ver el resultado 5,92 - estamos en lo correcto.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 5

Una alternativa es comenzar a reducir el número de factores comunes inferiores. Encontrar factores cuadrados perfectos pueden no ser necesarios si se puede determinar fácilmente los factores primos de un número (factores que también son números primos). Después de encontrar los factores comunes más bajos, buscar parejas de números primos entre los factores. Para encontrar dos factores primos iguales, tener ambos números y coloque la raíz cuadrada una fuera de la raíz cuadrada.

A modo de ejemplo, nos encontramos con la raíz cuadrada de 45 usando este método. Sabemos que el 45 = 9 × 5 y también sabemos que 9 = 3 x 3. Por lo tanto, podemos escribir nuestra raíz cuadrada en términos de sus factores tales como los siguientes: Raíz cuadrada (3 × 3 × 5). Simplemente tome el 3 de y poner un 3 en la parte externa de la raíz cuadrada para obtener el resultado en términos más simples: (3) Raíz cuadrada (5). Ahora es más fácil de deducir.

Como último ejemplo, vamos a tratar de encontrar la raíz cuadrada de 88:

Raíz cuadrada (88)

= raíz cuadrada (2 × 44)

raíz cuadrada = (2 × 4 × 11)

= Raíz cuadrada (2 × 2 × 2 × 11). Tenemos varios números 2 en nuestra raíz cuadrada. Como 2 es un número primo, podemos tomar un par y la colocación de un segundo en el exterior de la raíz cuadrada.

Nuestra raíz cuadrada = en términos simples es (2) Raíz cuadrada (2 × 11) o (2) La raíz cuadrada (2) Raíz cuadrada (11). Por lo que podemos deducir que la raíz cuadrada (2) y raíz cuadrada (11) y encontrar un resultado aproximado, si queremos.

método 2

Cálculo de las raíces manualmente Square

El uso de un algoritmo de división larga

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 6

Separar los dígitos de su número de dos en dos. Este método utiliza un proceso similar al de la división larga para encontrar una raíz cuadrada dígito a dígito exacta. Si es posible, trate de organizar los números en grupos. En primer lugar, trazar una línea vertical para separar el área de trabajo en dos partes. A continuación, dibuje una línea más corta horizontalmente en la parte superior del derecho a descomponerlo en una parte más pequeña una y otra vez su mayor parte por debajo. A continuación, se separan las cifras de su número de dos en dos, a partir de la coma decimal. Por ejemplo, es 79,520,789,182.47897 "7 95 20 78 91 82 47 89 7". Escriba su número en el espacio superior izquierdo.
A modo de ejemplo, vamos a calcular la raíz cuadrada de 780.14. Dibuje dos líneas para dividir el escritorio como se muestra arriba y tipo "7 80 14" en la parte superior del espacio a la izquierda. De acuerdo al final sólo queda uno solo número, y no una pareja. Escribe la respuesta (la raíz cuadrada de 780.14.) En el espacio superior derecho.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 7

Encontrar el mayor entero n cuyo cuadrado es igual al número o un par de números que fueron pasado. A partir de la cantidad que queda al final, si una pareja o un número solo. Encontrar el mayor cuadrado perfecto que es menor o igual al número de la izquierda, y luego calcular la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. Este es el número n. Tipo n en la parte superior del espacio de la derecha y de la plaza de n en el cuadrante inferior derecho.

En nuestro ejemplo, el número de la izquierda es 7. ¿Cómo sabemos que 2 = 4 ≤ 7 lt; 3 = 9, podemos decir que n = 2, ya que es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que o igual a 7. Tipo 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de nuestra respuesta. Tipo 4 (Plaza 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número es importante para nuestro siguiente paso.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 8

Restar el número que acaba de calcular el par de números de la izquierda. Como la división larga, el siguiente paso es restar la plaza que acabamos de encontrar usando el valor de los números de sobra. Anotar el resultado de los primeros números restantes y restar, escribir la respuesta a continuación.

En nuestro ejemplo, podríamos anotar 4 de 7 y nos gustaría hacer la resta. Por lo que los resultados obetríamos 3.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 9

Baja el próximo par de números. Tire de los números cuya plaza se está calculando que puedan estar cerca del resultado de la resta realizada en el paso anterior. A continuación, se multiplica el número en el cuadrante superior derecho por 2 y escribir el resultado en el cuadrante inferior derecho. Junto al número que acaba de escribir, reservar un espacio para la multiplicación por hacer en el siguiente paso `"_ × _ ="`.

En nuestro ejemplo, el siguiente par es "80". escribir "80" 3 al lado del cuadrante izquierdo. Entonces multiplicar el número en la parte superior de la derecha por dos. Este número es 2, 2 × 2 = 4. Comentario "`4"`En el cuadrante inferior derecho, seguido de _ × _ =.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 10

Llene los espacios cuadrante derecho. Cada espacio en el cuadrante derecho debe ser llenado con el mismo entero. Debe ser el mayor entero que permite que el resultado de la multiplicación en el cuadrante derecho es menor que el número que está a la izquierda.

En nuestro ejemplo, para llenar los espacios en blanco om 8, obtenemos 4 (8) x 8 = 48 x 8 = 384. Este valor es mayor que 380. Por lo tanto, 8 es demasiado, pero 7 pueden trabajar. 7 escribir los espacios en blanco y calcular: 4 (7) × 7 = 329. El 7 de trabajo, porque 329 es menor que 380. Tipo 7 en el cuadrante superior derecho. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780.14.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 11

Restar el número que acaba de número que se calcula que queda. Continuar secuencia de sustracciones en la división larga. Tome el resultado de multiplicar el cuadrante derecho y restar el mismo número que está a la izquierda, poniendo el resultado debajo.

En nuestro ejemplo, queremos restar 329 de 380, consiguiendo 51.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 12

Repita el paso 4. Baja el siguiente número cuadrada cuyas raíces se calculan. Al llegar al lugar decimal de su número, escriba un número decimal en su respuesta en el cuadrante superior derecho. Entonces multiplicar el número en la esquina superior derecha de 2 y escribirlo al lado del espacio en blanco para el resultado de la multiplicación ("_ × _") Como se muestra arriba.

En nuestro ejemplo, puesto que estamos calculando el punto decimal en 780,14, escribir un decimal después de la respuesta en la esquina superior derecha. Por lo tanto lleva hasta el siguiente par (14) en el cuadrante izquierdo. Dos veces el número en la esquina superior derecha (27) da 54, a continuación, escribir "54 _ × _ =" en el cuadrante inferior derecho.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 13

Repita los pasos 5 y 6. Encontrar el mayor dígitos para llenar los espacios en blanco a la derecha que se traducen en un valor menor o igual al número de la izquierda. Ahora acaba de resolver el problema.

En nuestro ejemplo, 549 x 9 = 4941, que es menor que el número de la izquierda (5114). 549 x 10 = 5490, que es demasiado alto, entonces 9 es nuestra respuesta. Tipo 9 como el siguiente dígito en el cuadrante superior derecho y restar el resultado de izquierda a multiplicación número: 5114 menos 4941 es de 173.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 14

Para continuar con el cálculo de dígitos, descargar un par de ceros a la izquierda, repita los pasos 4, 5 y 6. Para mayor precisión, seguir repitiendo este proceso para encontrar el número cien, mil, etc. en su respuesta. Hacer este ciclo hasta que encuentre la respuesta con el número deseado de posiciones decimales.

método 3

Al explicar el proceso de

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 15

Para entender cómo funciona este método, tenga en cuenta el número cuya raíz cuadrada se está calculando como el área S de un cuadrado. Así que usted está tratando de calcular la longitud L del lado de esta plaza. Usted quiere encontrar el número L de modo que L $ ² $ = S.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 16

Supongamos que se llama A, el primer dígito de la L (la raíz cuadrada estamos tratando de calcular). B es un segundo dígito, tercera C y así sucesivamente.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 17

Supongamos que se llama S_la el primer par de dígitos de S, S_b el segundo par de dígitos, etc.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 18

Al igual que en la división larga en la que sólo está interesado en el siguiente dígito a la vez, aquí en el cálculo de la raíz cuadrada, está interesado en los siguientes dos dígitos en un momento (que es el siguiente dígito a la vez a la raíz cuadrada) . También, así como una división, la posición del punto decimal no es importante en el proceso: siempre se puede simplemente añadir al final.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 19

Encontrar el mayor número cuya raíz cuadrada es inferior o igual a S_la. El primer dígito en nuestra La respuesta es entonces el número entero más grande cuyo cuadrado no exceda S_la (Lo que significa que A $ ² Sa ≤ lt; (A + 1) ²). En nuestro ejemplo, S_la = 7, y 7 ≤ 2² lt; 3², entonces A = 2.

Tenga en cuenta que si desea dividir 88962 por 7, el primer paso sería similar: que se vería en el primer dígito de 88962 (8) y tratar de encontrar el más dígitos, cuando se multiplica por 7, es inferior o igual a 8. Estos medios a 7 x 8 d ≤ lt; 7 × (d + 1). d sería igual a 1.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 20

Ver el cuadrado cuya área que está empezando a calcular. Su respuesta, la raíz cuadrada de su número inicial es L, que es equivalente a la longitud de un cuadrado con un área S (número inicial). Sus valores de A, B, C representan los dígitos en el valor de L. Otra forma de decir esto es que para una respuesta de dos dígitos, 10A + B = L, mientras que para una respuesta de 3 dígitos, 100A + 10B + C = U, y así sucesivamente.

considerar (10A + B) ² = 100A² + 2 × 10 A × B + B². (Recuerde que 10A + B es el número con B en la casa de las unidades y las decenas A en: con A = 1 y B = 2, 10 A + B es simplemente el número 12.)
(B + 10A) ² es el área alrededor de la plaza, 100A² la zona de la plaza más grande de interior, B² Es la zona de la plaza interior inferior, y 10 A × B Es el área de cada uno de los dos rectángulos. Al hacer este proceso largo y minucioso, encontramos el área alrededor de la plaza para añadir las áreas de cuadrados y rectángulos en su interior.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 21

En el paso 3, se resta ² $ S_la. Para tener en cuenta el factor de 100, hay que bajar un par S_b Digit S: ¿Quieres "S_la S_b" es el área cuadrada total, y que resta 100A² (el área del cuadrado grande) de ella. Lo que queda es el número obtenido N1 dejó en el paso 4 (380 en el ejemplo). Y ese número es igual a 2 × 10A × B + B² (el área de los dos rectángulos sobre la pequeña área cuadrada).

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 22

Busque N1 = 2 × 10 A × B + B² también escrito como N1 = (2 × 10 A + B) x B Ya sabes N1 (= 380) y A (= 2), y está en busca de B. En la ecuación, B, probablemente no será un número entero, entonces usted debe encontrar realmente el mayor número entero B de modo que (2 × 10 A + B) x N1 B ≤. (E B + 1 sería muy grande, por lo que tiene: N1 lt; (2 x 10A + + 1) B () x (B + 1)).

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 23

Para resolver esto, multiplicar A por 2, la transferencia a las decenas (que es equivalente a multiplicar por 10), poner B en la casa de las unidades y multiplique ese número por B. Este número es (2 x 10 A + B) x B, y eso es exactamente lo que se hace cuando se escribe "N_ × _ =" (Con N = 2 × A) en el cuadrante inferior derecho en el paso 4. Y en el paso 5, se encuentra el mayor entero B que se ajusta al subrayado de manera que (2 × 10 A + B) x N1 B ≤.

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 24

Restar la zona (2 × 10 A + B) x B de la superficie total (a la izquierda, como en el paso 6), que le da la zona S- (10A + B) aún no ² representó (y que se utilizará para calcular la siguiente Del mismo modo dígitos).

Imagen titulada Raíz Cuadrada por Calcular Mano Paso 25

Para calcular el siguiente dígito C, repetir el proceso: bajar el próximo par (S_c) S para obtener N2 a la izquierda y buscar la mayor parte C de tal manera que usted tiene (2 × 10 × (10A + B) + C) x C ≤ N2 (equivalente a escribir dos veces el número de dos dígitos "B" seguido por "_ × _ =" y encontrar el número más grande que se ajusta a la estresado y que es menor o igual a N2, como se muestra arriba).

consejos

Mover el punto decimal dos dígitos en la adición de un número (factor de 100), mover el punto decimal en pasos de un dígito en su raíz cuadrada (factor 10).
En el ejemplo, se puede considerar un 1,73 "resto": 780,14 + 1,73 = 27,9².
Este método funciona para cualquier base, no sólo en base 10 (decimal).
No dude en presentar el cálculo de la forma más conveniente para usted. Algunas personas escriben el resultado por encima de la cantidad inicial.
Un método alternativo utilizando fracciones continuas se puede encontrar en Wikipedia:

√z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (x2 + ...))).

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 780.14, un número entero cuyo cuadrado es más cercana a 780.14 es 28, entonces z = 780,14, x = 28 e y = -3,86. La aplicación de la fórmula y tomando sólo un estimado de x + y / (2) ya se da (en forma irreductible) 78207/2800 o aproximadamente 27.931 (1) - con la siguiente parte, o aproximadamente 27.930986 4374188/156607 (5 ). Cada tramo añade aproximadamente 3 decimales de exactitud a la anterior.