Como uno Grafičar función racional: 8 pasos

Una función racional es una ecuación que toma la forma y = C (x) / D (x), donde N y D son polinomios. Trate de dibujar un gráfico exacto de cómo éstas mano puede representar una extensa revisión de muchos de los más importantes conceptos de matemáticas de la escuela secundaria de álgebra básica para el cálculo. Consideremos el siguiente ejemplo: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

pasos

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 1

Encuentra la intersección y. Basta con establecer que x = 0. A excepción de los términos, todo lo demás desaparece, dejando y = 5/2. Expresarla como un par coordinado (0, 5/2) se convierte en un punto de la gráfica. Representa a este punto.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 2

Encuentra la asíntota horizontal. divisoria en el numerador el denominador para determinar el comportamiento de y para grandes valores absolutos de x. En el presente ejemplo muestra que la división y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). Para grandes valores positivos o negativos de x, 17 / (8x + 4) tiende a cero y la gráfica se aproxima a la línea y = (1/2)x - (7/4). El uso de una línea de puntos o línea discontinua Grafique esto.

Si el grado el numerador es menor que el grado del denominador, no hay división a realizar, y la asíntota está y = 0.

si nivel (N) = grado (D), la asíntota es una línea horizontal en el valor del coeficiente de primaria.

si nivel (N) = grado (D) + 1, la asíntota es una línea cuya curvatura es el valor del coeficiente de primaria.

si nivel (N) gt; grado (D) + 1, para valores grandes de |x |, y llega rápidamente a infinito positivo o negativo como un polinomio cuadrático, cúbico o mayor potencia. En este caso, es probable que no vale la pena graficada el cociente.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 3

Encontrar los ceros. Una función racional tiene un cero cuando su numerador es cero, a continuación, establecer N (x) = 0. En el ejemplo, 2x - 6x + 5 = 0. El discriminante es cuadrática b - 4c = 6-4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Desde el discriminante es negativo, N (x) Y consecuentemente, f (x), No tiene raíces reales. La gráfica no cruza el eje x. Si no se encuentra ningún cero, añadir estos puntos a la tabla.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 4

Encuentra las asíntotas verticales. La asíntota vertical se produce cuando el denominador es cero. definir 4x + 2 = 0 los resultados en la línea vertical x = -1/2. Grafique cada una asíntota vertical con una línea suave o de puntos. Si cualquier valor de x define el N (x) = 0 y D (x) = 0, puede o no ser una asíntota vertical. Este es un caso raro - echa un vistazo a estos consejos sobre cómo hacer frente a este fenómeno.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 5

Ver el resto de la etapa de división 2. Cuando va a ser positivo, negativo o cero? En el ejemplo, el resto del numerador 17 es siempre número positivo. El denominador, 4x + 2, Es positivo a la derecha de la asíntota vertical y negativa a la izquierda. Esto significa que el gráfico de acercarse a la asíntota directamente hacia arriba, los valores positivos más grandes de x, y hacia abajo en los valores negativos de mayor tamaño x. Una vez que 17 / (8x + 4) nunca puede ser cero, esta tabla no se cruza con la línea y = (1/2)x - (7/4). No añadir información a la carta ahora, pero tenga en cuenta las conclusiones más tarde.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 6

Encuentra el extremo local. Un extremo local puede ocurrir cada vez N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. En el ejemplo, N `(x) = 4x - 6 y D `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = 0. En expansión, la combinación de términos y dividiendo por 4 hojas x + x - 4 = 0. Las fórmulas muestra cuadráticas junto a las raíces x = 3/2 y x = -5/2 - Se diferencian en aproximadamente 0,06 de las cifras exactas, pero la tabla no deben ser lo suficientemente precisa que preocuparse por este nivel de detalle. La elección de un enfoque racional hace que el siguiente paso sea más fácil.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 7

Encontrar los valores Y de cada ubicación final. Introduzca valores x los pasos anteriores de nuevo a la función racional originales para encontrar los valores y correspondiente. En el ejemplo, f (3/2) = 1/16 y f (-5/2) = -65/16. Añadir estos puntos (3/2, 1/16) Y (-5/2, -65/16), El gráfico. Desde la vuelta a la etapa anterior, éstos no representan los puntos máximos y mínimos y exacta, pero están muy cerca - Sabemos que (3/2, 1/16) Es bastante cerca del mínimo local. A partir del paso 3, sabemos que y siempre será positivo cuando x gt; -1/2 Y encontró una cantidad tan pequeña como 1/16, es decir, al menos en este caso, el error será probablemente insignificante que la anchura de la línea.

Imagen Gráfico titulado función racional Paso 8

Conectar los puntos y estirar suavemente la gráfica de los puntos conocidos de asíntotas, tendiendo a llevarlos desde la dirección correcta. Tome el cuidado de no cruzar el eje x salvo en aquellos puntos que ya se encuentra en el paso 3. No cruce la asíntota lineal u horizontal salvo en aquellos puntos que ya se encuentran en el paso 5. Además, no cambie la pendiente ascendente de la pendiente del fondo excepto en extrema que se encuentra en el paso anterior.

consejos

Si usted sigue los pasos en orden, no debería ser necesario el uso de la 2ª prueba derivado o métodos similares potencialmente complicados para determinar si los valores críticos son máximo o mínimo local, o ninguno de ellos. Trate de usar la información de los pasos anteriores y un poco de lógica en un primer momento.
Si usted está tratando de hacer esto con métodos de pre-cálculo, puede reemplazar los pasos para encontrar los extremos locales cuando se calculan diferentes pares ordenados (x, y) Configuración entre cada par de asíntotas. Alternativamente, si no se preocupan por la ¿Por qué trabajar, no hay ninguna razón por la cual un estudiante de pre-cálculo no es capaz de derivar un polinomio y resolver N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.
Algunos de estos pasos puede implicar la resolución de un polinomio de alto grado. Si no puede encontrar soluciones exactas a través de la factorización, fórmulas u otros medios, estimar con técnicas numéricas tales como el método de Newton.
En casos raros, el numerador y el denominador pueden tener una factor común inconstante. Si usted está siguiendo los pasos, parecería como un cero y una asíntota vertical en un solo lugar. Esto es imposible y lo que ocurre en realidad es uno de los siguientes:

el cero N (x) Es más alta que la pluralidad cero D (x). El gráfico f (x) se aproxima a cero en este punto, pero aquí se convierte en indefinido. Mostrarlo con un círculo abierto en torno al punto.
el cero N (x) y cero en D (x) Tienen multiplicidad igual. La gráfica de algunos enfoques diferentes de cero para este valor de x, pero aquí se convierte en indefinido. Mostrar de nuevo, con un círculo abierto.
el cero N (x) Está a menos de la alta multiplicidad cero D (x). Hay una asíntota vertical en este punto.