La determinación de si una serie infinita es convergente

serie infinita se confunden a menudo. Con sólo mirar, es muy difícil decir si una serie converge o no. Hace siglos, se necesitarían horas para resolver un problema ya que essa- hoy, afortunadamente, gracias al trabajo de muchos matemáticos puede contar con pruebas de la práctica para ayudar a averiguar si una serie es convergente o no. Es importante recordar que estas pruebas sólo sirven para determinar el carácter de la serie (convergente o divergente), no calcular su suma. Para facilitar la aplicación de los teoremas también se necesita un conocimiento básico de cálculo.

pasos

Imagen titulada determinar si una serie infinita converge Paso 1

Realizar la primera prueba. El teorema afirma que si la suma del conjunto infinito de elementos de imagen de una función f (x) es convergente, su límite tiende a cero. Considere la función f (x) = x como límite tiende a infinito, la suma de los elementos de su conjunto de imágenes será divergente. Consideremos ahora la función f (x) = 1 / x como en este caso el límite tiende a cero, puede ser convergente. Si la función del límite no es igual a cero, se puede decir automáticamente que se trata de una serie divergente. Es importante recordar que el límite de una función es igual a cero, esto no es garantía de que será cada vez más convergentes que tenemos que hacer más pruebas para estar seguro.

Imagen titulada determinar si una serie infinita converge Paso 2

Averiguar si se trata de una serie geométrica. Este es un teorema muy precisa y fiable, por lo que se aplica sin miedo. Una serie geométrica es una serie de términos infinitos de una progresión geométrica cuya fórmula es r, donde "k" es un número real y cualquier "r" tiene un valor mayor que -1 y menor que 1. serie geométrica son siempre convergente. Si desea determinar la suma de dichas series, utilice la fórmula 1 / (1-r).

Escribir una imagen titulada Juego de Navidad Paso 4

Averiguar si se trata de una serie armónica generalizada. Una serie armónica generalizada es el número infinito de términos en la forma 1 / (x), donde "x" es cualquier número real. El teorema que "p" es mayor que 1, entonces la serie es convergente- "p" es menor que o igual a 1, entonces la serie es divergente. La función del primer ejemplo, f (x) = 1 / x, por lo tanto, es divergente- como 1 / x también puede escribirse como 1 / x, el valor de p es igual a 1. En el caso de la función f (x) = 1 / x, podemos ver que es convergente, puesto que p es igual a 2 (exponente del denominador), y por lo tanto mayor que 1.

Si ninguno de los teoremas anteriores funciona, trate de aplicar las siguientes pruebas. Las siguientes pruebas se deben usar si no se llega a una conclusión después de usar la prueba se muestra arriba. No es fácil decir que cualquiera de ellos debería probar primero, pero con la práctica será capaz de decidir mejor. Tenga en cuenta que no existe un método predeterminado para elegir.

la prueba de comparación. Considere dos series de términos positivos, un (n) y b (n). Si la suma infinita de b (n) se hace converger y (n) es menor que B (n) (para el valor de n suficientemente grande), entonces la suma de (n) también es convergente. Del mismo modo, si la suma de b (n) es divergente y (n) es mayor que b (n), entonces la suma de (n) también es divergente. Tomemos por ejemplo la serie de funciones 2 / x y 1 / x. Como ya sabemos que 1 / x es divergente y 2 / x es mayor que 1 / x, entonces se concluye que 2 / x también es divergente. Este método, en definitiva, es el uso de una serie ya conocida para determinar si otra serie converge o diverge.

Imagen titulada determinar si una serie infinita converge Paso 4Bullet1

Prueba comparando el límite. Si (n) y b (n) son términos positivos serie y el límite de la (n) / b (n) existe y es mayor que cero, entonces ambas series son al mismo tiempo convergente o divergente. Como en el método anterior, otro conjunto para la comparación es necesario. El ideal es elegir una serie de potencias superior, que es la misma que la serie inicial de potencia más alto. Si el problema de proporcionar el número de función 1 / (1 + x + x2), entonces se podría comparar, por ejemplo, 1 / (x).

Imagen titulada determinar si una serie infinita converge Paso 4Bullet2

Prueba completa. Considere una función positiva, continua y decreciente de "x" mayor o igual a 1. La serie infinita f (n) es convergente si (x) entre 1 y existir- infinito si es divergente, esta integral no existe la integral de f. En resumen, debe integrar la función y determinar el límite de la función tiende a infinito. Si existe la integral, entonces es serie converge- si no existe, entonces diverge.

Imagen titulada determinar si una serie infinita converge Paso 4Bullet3

Modelo de la serie alternante (test Leibniz). Si un gt (k), una (k + 1) gt; 0 (a un valor lo suficientemente grande k) y el límite de un (n) es igual a cero, entonces la serie (n) * (- 1) es convergente. Más racional, si usted tiene una forma de serie alternada, es decir, que cambia de signo cada término, eliminar la porción alterna de la función y determinar los límites de la parte restante: si existe el límite, entonces la serie converge.

prueba de razón (criterio D`Alembert). Considere la serie infinita (n) y (n + 1). Hacer (n + 1) / a (n) y determinar el límite de esta expresión. Si existe el límite, podemos obtener tres resultados diferentes: si el límite es inferior a 1, entonces la serie (n) es convergente- si el límite es mayor que 1, entonces la serie (n) es la divergente- umbral es cero, entonces la prueba no es concluyente.

Estas son las pruebas de convergencia primarios. Si ninguno de ellos le permiten llegar a una conclusión, entonces es una señal de que el problema en cuestión no se puede solucionar o que hizo un error de cálculo. Estos métodos también se pueden aplicar a potencia de la serie, serie Taylor, etc. Es muy importante aprender a utilizar estas pruebas correctamente porque hay formas más simples para determinar si una serie es convergente o no.

consejos

Comience siempre los tres primeros métodos (prueba límite, prueba series geométricas y de prueba serie armónica) antes de salir a otros. Esto le puede ahorrar mucho tiempo y esfuerzo.