Cómo dibujar una circunferencia de Apolonio: 10 pasos

2 Partes:Entender los conceptos clave Dibujar el círculo de Apolonio

La circunferencia de Apolonio es un tipo fractal formado por una serie de círculos que disminuyen en tamaño y están contenidos dentro de un círculo más grande. Cada círculo dentro del círculo de Apolonio es tangente a adjacentes- círculos en otras palabras, los círculos en la circunferencia de Apolonio táctil en puntos infinitamente pequeñas. Designado por el matemático griego Apolonio de Perga, este tipo de fractal se puede dibujar (a mano o computadora) con un grado razonable de complejidad, creando una imagen hermosa e interesante. Siga los pasos siguientes para conocer cómo construir su propio círculo de Apolonio.

parte 1

Entender los conceptos clave

Si lo que desea es dibujar el círculo de Apolonio, que no es necesario conocer en profundidad los principios matemáticos que se relacionan con los fractales. Sin embargo, si usted quiere tener una mejor comprensión del círculo de Apolonio, será esencial para entender las definiciones de los diversos conceptos que serán utilizados en las instrucciones de esta guía.

Imagen titulada Crear una junta 1 Paso apolínea

Entender los términos clave. Los siguientes términos se utilizan en las instrucciones:

Circunferencia de Apolonio: Uno de los varios nombres a un tipo fractal que comprenden una serie de circunferencias inscritas en un círculo más grande, y que son tangentes a cerrar todas las circunferencias.
Radio del círculo: Distancia que conecta el centro a cualquier punto de la circunferencia. Por lo general, se le atribuye la variable r.
círculo de curvatura: Positivo o valor negativo igual a la inversa del radio, o ± 1 / r. La curvatura será positivo en el caso de la curvatura exterior de la circunferencia y negativo cuando la curvatura interna.
tangente: Término aplicado a las líneas, planos y formas geométricas que se cruzan en un punto infinitamente pequeño. Circunferencias de Apolonio, esto se refiere al hecho de que cada círculo que toca la circunferencia junto a él en un único punto. Tenga en cuenta que hay formas intersecção- que son tangentes no se solapen.

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Comprender el teorema de Descartes. El teorema de Descartes es la fórmula utilizada para calcular el tamaño de los círculos en un círculo de Apolonio. Si definimos la curvatura (1 / r) de tres círculos a, y b c cualquiera, respectivamente, se dice que el círculo de curvatura (o círculos) que afecta a estos tres, vamos a llamar d, es igual a d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b + c × c × a).

Para nuestros propósitos, vamos a utilizar únicamente los resultados obtenidos con el signo más delante de la raíz cuadrada (en otras palabras ... + 2 √ (...)). Por ahora es suficiente saber que la forma en que el signo menos tiene aplicaciones en otras tareas relacionadas.

parte 2

Dibujar el círculo de Apolonio

Las circunferencias de Apolonio es en forma de arreglos del fractal de círculos cada vez más pequeños. Matemáticamente, las circunferencias de Apolonio ha infinita complejidad, sin embargo, está drenando con un programa de ordenador o con herramientas tradicionales, que finalmente llegan a un punto en que es imposible trazar círculos más pequeños. Cuanto mayor es la precisión de sus círculos, mayor es el número de círculos que se ajustan dentro de la circunferencia de Apolonio.

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Preparar las herramientas de diseño digital o analógico. En los siguientes pasos, vamos a construir un círculo de Apolonio sencilla. Puede dibujar a mano o utilizando herramientas informáticas. En ambos casos, tendrá que dibujar círculos perfectos. Eso es muy importante. Al igual que todos los círculos dentro de un círculo de Apolonio son perfectamente tangente a los círculos alrededor de los círculos con forma mínimamente irregular puede estropear el resultado final.

Para dibujar en la computadora, se necesita un programa que permite dibujar círculos a partir del valor de su radio. GFIG, una extensión para dibujar fractales del editor de imágenes gratuito GIMP, se puede utilizar, así como una variedad de otros programas para dibujo. Es probable que también necesita una aplicación para los cálculos y un editor de texto (o un cuaderno físico) para anotar los valores de curvas y un rayo.
Para dibujar con la mano, se necesita una calculadora (científica o gráfica), un lápiz, una brújula, una regla (de preferencia para marcar milímetros), papel cuadriculado y un cuaderno para tomar notas.

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Comienza dibujando un círculo grande. Usted debe comenzar dibujando un gran círculo perfectamente redondo. Cuanto mayor sea el círculo, mayor es la complejidad de su circunferencia, por lo tanto Apolonio tratar como gran círculo como la hoja de papel o tan grande como para permitir que el programa de diseño de pantalla.

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Dibujar un círculo más pequeño dentro del círculo original y es tangente a ella en un momento dado. El siguiente paso está dibujando otro círculo dentro del primero en ser más pequeño que el original, pero aún con un tamaño grande. El tamaño exacto del segundo círculo está en su elección- no hay un tamaño correcto. Sin embargo, para nuestros propósitos, vamos a sacar una segunda ronda de permanecer en el centro del círculo Maior-en otras palabras, vamos a dibujar el segundo círculo de manera que su centro se encuentra en medio de la mayor radio del círculo.

Recuerde que en la circunferencia de Apolonio, todos los círculos deben ser tangentes entre sí. Si está usando un compás para dibujar sus círculos con la mano, colocar la parte seca de la brújula en el punto medio del radio del círculo más grande y ajustar la punta con el grafito para que sólo tocar la línea del círculo más grande y sólo entonces dibujar el círculo interior más pequeño .

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Dibuje una círculo idéntico opuesto el paso anterior. Ahora, vamos a dibujar otro círculo junto al primer círculo más pequeño. Este nuevo círculo debe ser tangente al círculo más grande a fin de reducir el círculo interior, lo que significa que los dos círculos interiores deben tocar el centro del círculo más grande, es decir, en el punto medio de su diámetro.

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Aplicar el teorema de Descartes para calcular el tamaño de las próximas rondas. Vamos a dejar de dibujar por un momento. Ahora tenemos tres círculos en la circunferencia de Apolonio, podemos usar el teorema de Descartes para determinar el radio del círculo interior que nos basamos. Recuerde que la fórmula del teorema de Descartes es d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b + c × c × a), donde las variables a, y b c son las curvaturas de la tangente y tres círculos d es la curvatura del círculo tangente a los otros tres. Por lo tanto, para llegar al siguiente valor de radio del círculo, encontramos en primer lugar la curva de cada uno de los círculos dibujados hasta ahora y luego encontramos la curvatura del círculo interior y, finalmente, convertir este valor en el radio.

Vamos a suponer que el radio del círculo más grande es igual 1. Al igual que los otros círculos están en él, vamos a calcular su curvatura interior (curvatura no exterior), y por lo tanto sabemos que el valor de su curvatura será negativo. - 1 / r = -1/1 = -1. La curvatura del círculo más grande es igual a -1.

El radio de las dos más pequeños círculos internos es igual a la mitad del mayor radio del círculo, o en otras palabras, un medio. A medida que estos círculos se tocan entre sí y el círculo más grande, calculamos la curvatura externo, por lo que el valor de la curvatura será positivo. 1 / (1/2) = 2. La curvatura de los dos círculos más pequeños es igual a 2.

Ahora, sabemos que a = -1, b = 2 y c = 2. Sustituyendo estos valores en el teorema de Descartes, tenemos:

d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b + c × c × a)

d = -1 + 2 2 + 2 ± √ (-1 × 2 + 2 + 2 × 2 × -1)

d = -1 + 2 2 + 2 ± √ (4 + -2 + -2)

d = 1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

d = 3. La curvatura del círculo interior es igual a 3. Como 3 = 1 / r, el radio de las medidas interiores de círculo 1/3.

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Dibujar la siguiente serie de círculos. Utilice el valor de radio determinado en el paso anterior para dibujar las dos rondas siguientes. Recuerde que lo que deberían tangente circunda las curvaturas a, y b c utilizado en el teorema de Descartes. En otras palabras, ellos deben ser tangente al círculo más grande y los dos círculos interiores. Para estos dos nuevos círculos se tocan todos los otros círculos, tendrá que dibujar en los espacios vacíos que quedan en la parte superior e inferior del círculo más grande.

No hay que olvidar que el radio de estos círculos debe ser igual a 1/3. Mida 1/3 desde la línea círculo más grande y luego dibujar el nuevo círculo. Debe ser tangente a tres círculos a su alrededor.

Imagen titulada Crear una junta 9 Paso apolínea

Continuar la aplicación de este método para dibujar nuevos círculos. Al ser fractales, las circunferencias de Apolonio tienen infinita complejidad. Esto significa que se puede añadir círculos cada vez más pequeños hasta donde desee. Estará limitado sólo a la precisión de sus herramientas (o, si está utilizando el equipo, la capacidad de su programa de dibujo para trabajar con el aumento) del zoom. Cada círculo, no importa lo pequeño que es, debe ser tangente a los otros tres. Para dibujar el siguiente círculo de la circunferencia de Apolonio, que sustituye los valores de las curvaturas de los tres círculos que los nuevos tangenciará en el teorema de Descartes. A continuación, utilice el resultado (que será el próximo valor del radio del círculo) para dibujar el nuevo círculo con precisión.

Tenga en cuenta que la circunferencia de Apolonio elegimos dibujo es simétrico, por lo que el radio de un círculo es igual a la círculo correspondiente en el lado opuesto. Sin embargo, es importante tener en cuenta que no todos los circunferencia de Apolonio será simétrico.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que, después de dibujar el último conjunto de círculos, dibujamos círculos tangentes a la tercera serie, el segundo set y el círculo exterior más grande. Las curvaturas de estos círculos son, respectivamente, 3, 2 y -1. Sustituyendo estos valores en el teorema de Descartes, o a = -1, b = 2 y c = 3, tenemos:

d = a + b + c ± 2 √ (a × b + b + c × c × a)

d = -1 + 2 + 3 2 ± √ (-1 × 2 + 2 + 3 × 3 × -1)

d = -1 + 2 + 3 2 ± √ (-2 + -3 + 6)

d = -1 + 2 + 3 2 ± √ (1)

d = 1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. se obtienen dos resultados. Sin embargo, como sabemos que el nuevo círculo será más pequeño que los círculos que son tangentes, sólo el valor de la curvatura 6 (Y por tanto el radio medido 1/6) Será válida.

Nuestra otra respuesta, la segunda se refiere al círculo imaginario en el otro lado del punto de tangencia de la segunda y tercera series de círculos. Este círculo imaginario es tangente a estos otros círculos y el círculo exterior más grande, pero también se cruza con los círculos previamente elaboradas, por lo que debe tenerla en cuenta.

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Intenta dibujar una circunferencia de Apolonio asimétrica cambiando el tamaño de la segunda ronda. Todos los círculos de Apolonio comienzan de la misma manera: un círculo externo más grande que funciona como el fractal de borde. Sin embargo, como rayos de la segunda ronda no necesita obligatoriamente ser de 1/2 del radio Maior-eligió este valor sólo porque es simple y fácil de entender. Ahora que sabes lo básico, intente crear un círculo de Apolonio en la segunda ronda tiene un tamaño diferente- que le llevará a explorar otras maneras emocionantes y divertidos de la geometría.

Una vez que haya terminado de dibujar la segunda ronda (no importa su tamaño), el siguiente paso debe ser para dibujar uno o más círculos que son tangentes a la misma y el círculo externo- sin embargo, no hay manera correcta de hacerlo. A continuación, puede utilizar el teorema de Descartes para determinar el valor de los radios de los círculos cercanos (como se muestra arriba).