Cómo establecer el límite superior e inferior de un conjunto

2 Métodos:Entender los conceptos básicos Determinar los límites superior e inferior de un conjunto

Un conjunto de números reales S se considera limitada (en sentido superior e inferior) si los elementos finitos y contiene una mayor o igual que todos los demás elementos del conjunto, y un elemento inferior o igual a todos los demás montaje. ¿Quieres saber cómo determinar el límite superior (límite superior) e inferior (límite inferior) de un conjunto de números reales no vacío? Comenzará en el primer paso.

parte 1

Entender los conceptos básicos

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 1

Comprender el concepto de límite superior. ser S un conjunto de números reales, si en S un número real A ∈ R tal que cualquier elemento de este subconjunto es menor que o igual a A, decimos que este conjunto está acotado superiormente. Matemáticamente, podemos expresar de la siguiente manera: ∀x ∈S ⇒x ≤ Si el conjunto A. S no tiene un límite superior (límite superior), podemos decir que no está acotado superiormente.
El elemento más pequeño entre los límites superior del conjunto
S (si existe) se llama supremo y está representado por supS.
Si un conjunto
S tiene al menos un límite superior, entonces habrá otros elementos más grandes infinitas que este número también se clasificará como límites superiores.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 2

Comprender el concepto de límite inferior. ser S un conjunto de números reales, si en S un número real B ∈ R tal que cualquier elemento de este subconjunto es mayor que o igual a B, se dice que este conjunto está limitada hacia abajo. Matemáticamente, podemos expresar de la siguiente manera: ∀x ∈S ⇒x ≥Si el conjunto B. S no tiene un límite inferior (límite inferior), se dice que no se limita inferiormente.

El elemento más grande entre los límites inferiores del conjunto S (si existe) se llama infinitesimal y está representado por infS.

Si un conjunto S tiene al menos un menor entonces habrá otros elementos ligados, infinitos pequeños que este número también se clasifican como límites inferiores.

parte 2

Determinar los límites superior e inferior de un conjunto

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 3

Asegúrese de que el conjunto está acotado superiormente. ser S un conjunto de números reales donde ∃ A ∈ R tal que ∀ x ∈S ⇒x ≤ A, decimos que El montaje es una cota superior S. En otras palabras, si un número real El ejemplo elegido que cualquier número entero S es inferior o igual a él, entonces podemos decir este conjunto está acotado superiormente.
Por ejemplo, suponga que tiene la siguiente conjunto de números reales,
S: {1, -1/4, 1/9, 1/16. . .}. Podemos ver que hay un número real El conjunto igual a 1 en este y cualquier otro elemento S es menor que o igual a la misma. Por lo tanto, podemos decir que este conjunto está acotado superiormente.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 4

Asegúrese de que el aparato está limitada hacia abajo. ser S un conjunto de números reales donde ∃ B ∈ R tal que ∀ x ∈ S ⇒x ≥ B, decimos que B es una cota inferior del conjunto S. En otras palabras, si un número real B tal que cualquier conjunto de número elegido S es mayor que o igual a él, entonces podemos decir que este conjunto está limitada hacia abajo.

En el ejemplo anterior, podemos ver que hay un número real B igual a -1/4 en este conjunto y que cualquier otro elemento S es mayor que o igual a la misma. Por lo tanto, podemos decir que este conjunto está limitada hacia abajo.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 5

Asegúrese de que el conjunto tiene una suprema. Si hay un elemento de menor importancia entre los límites superior del conjunto, entonces esto se llama supremo y estará representado por supS.

En el ejemplo anterior, podemos ver que cualquier número mayor que 1 puede ser sin embargo un majorante-, 1 es la más baja entre ellos. Así que 1 es el más alto de este conjunto: cenarS = 1.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 6

Asegúrese de que el conjunto tiene una más baja. Si hay un elemento importante entre los límites inferior del conjunto, entonces esto va a ser llamado el más pequeño y estará representado por infS.

En el ejemplo anterior, podemos ver que cualquier número menor que -1/4 puede ser un minorante- embargo -1/4, es el más grande entre ellos. Así -1/4 es el más pequeño de esta serie: infS = -1/4.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 7

Determinar el mayor elemento del conjunto. una serie a es el elemento más grande de un conjunto S es a ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≤ a. En otras palabras, si elegimos un número el conjunto y la comparación con los otros elementos, si cualquier elemento en el conjunto es menor que o igual a a, entonces podemos decir que este número es el mayor elemento del conjunto (también llamado como máximo).

En el ejemplo anterior, podemos ver que hay un elemento del conjunto que cumpla con estas condiciones: el número 1. Así que 1 es el máximo del conjunto.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 8

Determinar el elemento más pequeño del conjunto. una serie b se considera que es el elemento más pequeño de un conjunto S es b ∈S ⋀x ∈S ⇒x ≥ b. En otras palabras, si elegimos un número b set y en comparación con los otros elementos, si cualquier otro valor establecido es mayor que o igual a b, entonces podemos decir que este número es el elemento más pequeño del conjunto (también llamado como mínimo).

En el ejemplo anterior, podemos ver que hay un elemento del conjunto que cumpla con estas condiciones: el número -1/4. Por lo tanto, el mínimo -1/4 se establece.

Imagen Trabajo titulado Fuera límites superior e inferior Paso 9

Determinar el límite superior e inferior del conjunto. El elemento más grande y el más pequeño de su conjunto son, respectivamente, los límites superior e inferior.

En el ejemplo anterior, tenemos un conjunto limitado tanto por arriba (en 1) e inferior (al -1/4).

consejos

Los elementos de máximos y mínimos son también conocidos como final del conjunto.
Si se da el supremo y el conjunto de infinitesimal, siempre van a ser únicos. La existencia del supremo y el más pequeño de un conjunto no vacío acotado superiormente e inferiormente está garantizada por el axioma de completitud R: Este axioma establece que todo conjunto no vacío acotado superiormente tiene un supremo y que todo conjunto no vacío delimitado abajo es un infinitesimal.
El supremo y el más pequeño de un conjunto dado no son necesariamente parte de él- esta es una de las razones por las que también se necesita para determinar el máximo y el conjunto mínimo.