Cómo encontrar el determinante de una matriz 3X3: 12 pasos

2 Partes:Encontrar el determinante Aliviando el problema

El determinante de una matriz se utiliza a menudo en cálculo, álgebra lineal y geometría avanzada. Fuera de la academia, los ingenieros de gráficos por ordenador y programadores utilizan matrices y determinantes todo el tiempo. Si ya sabe cómo encontrar el determinante de una matriz de 2 x 2, las únicas operaciones adicionales requeridas aquí son la suma, resta y multiplicación.

parte 1

Encontrar el determinante

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Tipo 3 x 3 matriz. Vamos a llamar a esta matriz A y tratar de encontrar la clave, representado por "| A |". Aquí está la notación matricial que utilizamos y nuestra gama ejemplo:

${ Displaystyle M = { begin {pmatrix} a_ {11}&a_ {12}&a_ {13} {21} a_&a_ {22}&a_ {23} {31} a_&a_ {32}&a_ {33} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1&5&3 2&4&7 4&6&2 end {pmatrix}}}$

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Seleccione una sola columna o fila de referencia. La respuesta será la misma independientemente de la fila o columna elegida. Por ahora, sólo tiene que elegir la primera línea. Más adelante vamos a enseñar cómo seleccionar la fila o columna que facilitará aún más el cálculo.

Vamos a elegir la primera línea de nuestro ejemplo la matriz A. Hacer circular "1 3 5" ("la₁₁ la₁₂ la₁₃" en términos generales).

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Eliminar la fila y la columna del primer elemento de la colección circulante. Véase el primer elemento del conjunto de tres números que circuló y trazar una línea en la fila y la columna de este elemento, la eliminación de ellos. Después de hacerlo, quedarán 4 números, los cuales serán tratados como una matriz de 2 x 2.

En nuestro ejemplo, la línea de referencia es "1 3 5". la primer elemento Es en la fila 1 y la columna 1, a continuación, elimine todos los elementos de esta fila y esta columna. Tratar a los números restantes como una 2 x 2 matriz:

~~1 5 3~~

2 4 7

4 6 2

Encontrar el determinante de la matriz de 2 x 2. Recuerde, el determinante de la matriz [_d] es ad - bc. Es posible que haya aprendido este proceso al hacer una X en los elementos de la matriz de 2 x 2 y restando el producto de los elementos marcados por "/" marcada por el producto de "". Utilice esta fórmula para calcular el determinante de la matriz que sólo encontramos.

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En nuestro ejemplo, el determinante de la matriz [₂] * 4 = 2-7 = 6 * -34.

Esta clave se llama menos el elemento seleccionado en la matriz original. En este caso, sólo encontramos el más pequeño de la₁₁.

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Multiplicar el resultado por el elemento elegido. Recuerde, usted ha elegido un elemento de una referencia de fila (o columna) después de seleccionar una fila y una columna de eliminar. Que se multiplican por el elemento determinante que acaba de calcular de 2 x 2 matriz.

En nuestro ejemplo, seleccionamos₁₁, que tenía un valor de 1. multiplican por -34 (el determinante de 2 x 2) para obtener 1 * (-34) = -34.

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Determinar el signo de la respuesta. Ahora, se multiplica el resultado por 1 o -1 para el cofactor el elemento seleccionado. El multiplicador a utilizar depende de donde el elemento elegido estaba en la matriz de 3 x 3 Memoriza esta tabla sencilla de saber cuál utilizar multiplicador:

+ - +

- + ;

+ - +

¿Cómo elegimos la₁₁, marcada con el signo +, se multiplica por 1 (es decir, no hacer nada). La respuesta seguirá siendo -34.

Otra forma de averiguar la señal está utilizando la fórmula (-1)

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Repita este proceso para el segundo elemento de la línea de referencia o columna. Volver a la matriz original de 3 x 3 con el conjunto de números que rodeaban anteriormente. Repetir el mismo proceso con el siguiente elemento:

Eliminar la fila y la columna del elemento. En nuestro caso, seleccione el elemento₁₂ (Que tiene el valor 5). Eliminar una línea (1 5 3) y la segunda columna (4 5 6).

Tratar a los elementos restantes como una matriz de 2 x 2. En nuestro ejemplo, la matriz es [₄ ₂].

Encontrar el determinante de esta matriz de 2 x 2. Utilice la fórmula "ad - bc" (2 * 2-7 * -24 = 4).

Multiplicar por el elemento elegido de la matriz de 3 x 3. -24 * 5 = -120

Determinar si el valor obtenido debe ser multiplicado por -1. Usa los signos de mesa o de fórmula (-1). Elegimos el elemento₁₂, que está en "-" en la tabla de señales. Por lo tanto, tenemos que cambiar el signo de nuestra respuesta: (-1) * (- 120) = 120.

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Repetir el proceso con el tercer elemento. Todavía hay un cofactor tenemos que encontrar. calcular "yo" para el tercer término de la serie de referencia. Aquí hay un paso a paso para encontrar el cofactor de la₁₃ en nuestro ejemplo:

Eliminar la fila 1 y la columna 3 para obtener [₄ ₆].

El determinante de la matriz se encuentra 2 * 6-4 * 4 = -4.

Multiplicar por el elemento₁₃: -4 * 3 = -12.

El elemento₁₃ es "+" en la tabla, entonces la respuesta es -12.

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Unos tres resultados. Este es el último paso. Tiene tres cofactores calculados, uno para cada elemento del conjunto de referencia. Algunos tres y habrá encontrado el determinante de la matriz de 3 x 3.

En nuestro ejemplo, el determinante es -34 + 120 + -12 = 74.

parte 2

Aliviando el problema

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Elija el conjunto de referencia que tiene la mayor cantidad de ceros. Recuerde, usted puede elegir cualquier fila o columna como el conjunto de referencia. La respuesta será la misma independientemente del conjunto elegido. Si elige una fila o columna con ceros, es necesario calcular sólo el cofactor de los diferentes elementos de cero. Aquí está la explicación:
Digamos que usted ha elegido la línea 2 con los elementos₂₁, la₂₂ y₂₃. Para resolver este problema, tenemos que considerar tres matrices de 2 x 2 diferentes. Las llamaremos A₂₁, la₂₂, y A₂₃.
El determinante de la matriz es un 3 x 3₂₁| A₂₁| - la₂₂| A₂₂| + una₂₃| A₂₃|.
Si los términos de la₂₂ y₂₃ son ambos 0, se convierte en nuestra fórmula₂₁| A₂₁| - 0 * | A₂₂| + 0 * | A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 =₂₁| A₂₁|. Ahora tenemos que calcular sólo el cofactor de un solo elemento.

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Utilice columnas añadiendo a simplificar la matriz. Si se suman los elementos de una línea a otra línea, el determinante de la matriz no va a cambiar. Lo mismo ocurre con las columnas. Se puede aplicar este proceso varias veces o multiplicar los valores por una constante antes de añadir a solicitar tantos ceros como sea posible. Esto puede generar un ahorro de tiempo enorme.

Por ejemplo, supongamos que tiene una matriz con tres líneas: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]

para cancelar "9" en la posición₁₁, podemos multiplicar la segunda fila por -3 y sumar el resultado a la primera. La nueva primera línea es [-1 9 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].

La nueva matriz tendrá las columnas [2 -4 0] [0 3 1] [7 -2 5]. Trate de usar el mismo truco con las columnas a cero el valor de la₁₂ también.

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Aprender de la manera más rápida para las matrices triangulares. En estos casos particulares, el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal de la₁₁ en la parte superior izquierda a la₃₃ la esquina inferior derecha. Todavía estamos hablando matrices 3 x 3, pero los que son triangulares tienen posiciones específicas de los diferentes elementos a cero:

matriz triangular superior: todos los diferentes elementos serán cero en la diagonal principal o superior. Todo lo que está abajo es cero.

matriz triangular inferior: Todos los diferentes elementos serán cero en la diagonal principal o por debajo. Todo lo que está arriba es cero.

matriz diagonal: todos los diferentes elementos de cero son de la diagonal principal (un subconjunto de los dos anteriores).

consejos

Este método se puede aplicar a cualquier tamaño de matriz cuadrada. Por ejemplo, cuando se utiliza en una matriz de 2 x 2, vamos a eliminar la fila y columna en el primer elemento del conjunto de circular, que nos deja a continuación, con una matriz de 3 x 3, que puede ser el que determinan calcula como mostramos en este artículo . Pero cuidado, este proceso puede ser mucho trabajo si se hace a mano.
Si todos los elementos de una matriz fila o columna son 0, entonces el factor determinante en la matriz también será 0.