Cómo encontrar la ecuación de una línea tangente a la curva

2 Métodos:Encontrar la ecuación de una tangente Solución de problemas

A diferencia de la línea recta, la pendiente de la curva cambia continuamente a medida que se mueve a lo largo del gráfico. El cálculo presenta a los estudiantes el concepto de que cada punto de este gráfico se puede describir con una pendiente, o "tasa de cambio instantánea". La línea tangente es una línea recta en esta pendiente, que pasa por el mismo punto en el gráfico. Para saber cual es la ecuación de la tangente, debe saber cómo extraer la derivada de la ecuación original.

método 1

Encontrar la ecuación de una tangente

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 1

Dibuje la función y la tangente (recomendado). El gráfico ayuda a controlar el problema y para comprobar si la respuesta tiene sentido. Esquema de la función en una hoja de papel cuadriculado, utilizando una calculadora gráfica si es necesario. Dibujar la tangente que pasa por un punto (recuerde que pasa por este punto y tiene la misma pendiente gráfico de allí).

Ejemplo 1: Trace la gráfica parábola ${ Displaystyle f (x) = 0,5 x ^ 2 +} {3x-1}$ .Dibujar la tangente por el punto (-6, 1).
No sabes la ecuación de la tangente, pero se puede ver que la pendiente es negativa y su intersección es también negativa (muy por debajo del vértice de la parábola, con un valor de y = -5.5). Si su respuesta final no es igual a estos datos, se puede comprobar los cálculos de errores.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 2

Obtener la derivada de la primera con el fin de encontrar la ecuación de pendiente de la tangente. Para la función f (x), la primera derivada f `(x) es la pendiente de la ecuación de la tangente en cualquier punto (x) f. Hay muchas maneras de derivar. Aquí está un ejemplo simple que utiliza la regla de poderes:

Ejemplo 1 (cont.): el gráfico se describe por la función de
Recuerde la regla de los poderes para hacer derivados: .
La primera derivada de la función es igual a f `(x) = (2) (0,5) x + 3-0 ,.
f `(x) = x + 3. Introduzca cualquier valor "a" a x de la ecuación y el resultado será igual a la tangente de la pendiente de f (x) en el punto x = a.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 3

Introduzca el valor x del punto a ser investigado. Lee el problema de encontrar las coordenadas del punto cuya tangente desea descubrir. Introduzca la coordenada x de este punto de f `(x). El resultado es la pendiente de la tangente en este punto.

Ejemplo 1 (cont.): el punto mencionado en el problema es (-6, -1). Utilice la coordenada x = -6 como el valor de la variable independiente en f `(x):
f `(- 6) = -6 + 3 = -3
La pendiente de la tangente es igual a -3.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 4

Escribe la ecuación de la tangente de manera fundamental. La forma fundamental de una ecuación lineal está representada por ,donde m es la pendiente (pendiente de la línea) y ${ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ es un punto de reta.Agora, usted tiene toda la información necesaria para escribir la ecuación de la tangente en este formulario.

Ejemplo 1 (cont.):
La pendiente de la línea es igual a -3 y por lo tanto .
La tangente por el punto (-6, -1), de modo que la ecuación final se puede representar por .
Simplificarlo al
.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 5

Confirmar la ecuación en el gráfico. Si usted posee una calculadora gráfica, montar la función original y la tangente a demostrar que el resultado es correcto. Si está trabajando en el papel, volver a la tabla anterior para asegurarse de que no hay errores en la respuesta.

Ejemplo 1 (cont.): el contorno inicial reveló que la pendiente de la tangente es negativa y la intersección era muy por debajo de -5,5. La ecuación de la tangente encontramos está representada por y = 3x - 19 en la forma fundamental, lo que indica que es la pendiente -3 y -19, el punto de intersección. Ambos atributos son iguales a las previsiones iniciales.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 6

Tratar de resolver un problema difícil. Este es un proceso de toda la supervisión una vez más. Ahora, el objetivo es encontrar la tangente x = 2:

Con la regla de los poderes, la primera derivada será igual a .Esta función nos muestra lo que es la pendiente de la tangente.

Como x = 2, encontrar .Esta es la pendiente de la función cuando x = 2.

Tenga en cuenta que no tenemos el valor del punto en ese momento, pero sólo una coordenada x. Para saber cual es la coordenada y, inserte x = 2 en la función inicial: .El punto es (2.27).

Escribe la ecuación de la tangente de una manera fundamental:

Si es necesario, se reduce a y = 25x - 23.

método 2

Solución de problemas

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 7

Encontrar los puntos extremos de un gráfico. Estos son los puntos en los que el gráfico alcanza un máximo local (punto más alto de los puntos en cada lado) o un mínimo local (menos de todos los puntos en cada lado). La tangente siempre tiene una pendiente igual a 0 en esos puntos (línea horizontal), lo que no indica necesariamente un punto final. Aprende aquí cómo encontrarlos:

Encuentra la primera derivada de la función de f `(x), la ecuación de la pendiente de la tangente.
Resolver f `(x) = 0 para encontrar posibles puntos finales.
Tomemos, por la segunda derivada f `(x), la ecuación que indica la rapidez con la pendiente de los cambios de línea tangente.
Para cada posible punto final, introduzca la coordenada x = a f `(a). Si el valor de f `` (a) es positivo, hay un mínimo local en a. Si el valor de f `(a) es negativa, es un máximo local. Si el valor de f `(a) es igual a 0, no hay un punto de inflexión, y no un punto final.
Si hay un máximo o un mínimo en a, encontrar el valor de f `` (a) saber qué es la coordenada y.

Imagen titulada encontrar la ecuación de una línea tangente Paso 8

Encuentra la ecuación normal. la "normal" una pendiente en un punto particular pasa a través de este punto, pero tiene una pendiente perpendicular a una tangente. Para encontrar la ecuación normal tomar ventaja del hecho de que el producto (pendiente de la tangente). (Slope normal) = -1 cuando ambos pasan por el mismo punto en el gráfico. En otras palabras:

Encuentra f `(x), la pendiente de la tangente.

Si el punto está en x = a, encontrar f `(a) para encontrar la pendiente de la tangente en ese lugar.

calcular para encontrar la pendiente normal.

Escriba la ecuación normal, de manera fundamental.