El cálculo de la velocidad instantánea: 11 pasos

3 partes:Calcular la velocidad instantánea Para estimar la velocidad instantánea en un gráfico Ejemplos de problemas

La velocidad se define como la aceleración de un objeto en una dirección determinada. En muchas situaciones comunes, usamos la ecuación v = s / t, donde v es igual a la velocidad, s es igual al desplazamiento total del objeto a partir de su punto de origen y t es igual al tiempo transcurrido. Sin embargo, técnicamente, el resultado de la ecuación es simplemente la velocidad "promedio" durante el recorrido. Con la ayuda del cálculo, se puede encontrar la velocidad del objeto en cualquier momento durante el viaje. Esto se llama "velocidad instantánea", Que se define por la ecuación v = (ds) / (dt), o, en otras palabras, la ecuación de deriva de la velocidad media de un objeto.

parte 1

Calcular la velocidad instantánea

Comience con una ecuación para la velocidad en términos de desplazamiento. Para la velocidad instantánea de un objeto, primero se necesita es una ecuación que muestra la posición del objeto (en términos de desplazamiento) en un momento determinado. Esto significa que la ecuación debe ser variable s solo en un lado y t por otra parte, pero no necesariamente solo, así:

s = 4 + 10t + -1,5t

En esta ecuación, las variables son:
Offset = s . La distancia recorrida por el objeto desde la posición inicial. Por ejemplo, si un objeto caminar 10 metros a 7 metros por delante y por detrás, el desplazamiento total es de 10-7 = 3 metros (No 10 + 7 = 17 metros).
Tiempo = t . Explica por sí mismo. Por lo general se mide en segundos.

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 2

Calcular la derivada de la ecuación. la derivado una ecuación es una ecuación diferente que muestra una curva en cualquier punto en el tiempo. Para encontrar la derivada de la fórmula desplazamiento, diferenciar la función con esta regla general para encontrar derivados: Si y = a * x, derivado = a * n * x. Esta regla se aplica a cada término en el lado de la ecuación que contiene el t.

En otras palabras, comenzar con el lado de la ecuación con el t, de izquierda a derecha. Cada vez que me encuentro con una t, restar 1 al exponente y se multiplican a lo largo del plazo original de exponente. Cualquiera de los términos constantes (términos que no contienen t) va a desaparecer, a medida que se multiplican por 0. Este proceso no es tan difícil como parece - véase la ecuación anterior derivado como un ejemplo:
s = 4 + 10t + -1,5t
(2) -1,5t + (1) + 10t (0) 4t
-+ 10t 3t
-3t + 10

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 3

reemplazar s por ds / dt. Para demostrar que la nueva ecuación anterior se deriva, reemplace s con la notación ds / dt. Técnicamente, los medios de notación "el derivado de s con respecto a T". Una forma más sencilla de entender esto es pensar que ds / dt es la curva de cualquier punto dado en la primera ecuación. Por ejemplo, para encontrar la línea curva hecha por s = -1,5t + 10t + t = 4, 5 sólo se adhiere T 5 en su derivado.

En este ejemplo, la ecuación final debe tener este aspecto:

ds / dt = -3t + 10

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 4

Asignar un valor de t en la nueva ecuación para calcular la velocidad instantánea. Después de obtener la ecuación derivada es fácil de encontrar la velocidad instantánea en cualquier punto del tiempo. Todo lo que necesita hacer es elegir un valor para t y asignarla en la ecuación derivada. Por ejemplo, si usted quiere encontrar la velocidad instantánea en t = 5, único sustituto para t 5 en ds derivados / dt = -3T + 10. A continuación, simplemente resolver la ecuación:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metros / segundo

Tenga en cuenta que se utilizó como unidad de metros / segundo anteriormente. Dado que se trata de desplazamiento en términos de metros, tiempo en cuanto a la segunda, y la velocidad es por lo general sólo varían con el tiempo, como es apropiado.

parte 2

Para estimar la velocidad instantánea en un gráfico

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 5

Hacer un gráfico de objetos desplazamiento en el tiempo. En la sección anterior, se mencionó que los derivados no son más que fórmulas que le ayudan a encontrar la curva en cualquier punto de la ecuación de tiempo al que se refiere. De hecho, mediante la representación de la desplazamiento de un objeto con una línea en un gráfico curva de línea en un punto dado es igual a la velocidad instantánea del objeto en ese punto.
Para representar gráficamente utilizar el eje x representa el tiempo y el eje y para representar el desplazamiento. entonces, distribuir los puntos la asignación de valores a la ecuación t offset, la búsqueda de los valores de s, t y la comprobación, s (x, y) en el gráfico.
Tenga en cuenta que el gráfico se puede extender por debajo del eje x. Si la línea es el objeto del movimiento se extiende por debajo del eje x, que es el objeto que se mueve de vuelta a donde comenzó. Por lo general, el gráfico no se extiende por detrás del eje y - no se acostumbra a medir la velocidad de los objetos en movimiento en el tiempo!

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 6

Elegir un punto P y Q cerca de este punto en la línea. Para encontrar la curva en un punto P, se utiliza un truco llamado "calcular el límite". Calcular el límite consiste en elegir dos puntos (P y Q) en la línea curva y encontrar la línea curva que conecta los dos puntos y otra vez, mientras que la distancia entre P Q Q disminuye.

Digamos que el desplazamiento de la línea contiene los puntos (1,3) y (4,7). En este caso, si usted quiere encontrar la curva (1,3) se define (1,3) = P y (4,7) = Q.

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea Paso 7

Encuentra la curva entre P y Q. La curva de entre P y Q es la diferencia en valores de y para P y Q en la diferencia de valores de x para P y Q. En otras palabras, H = (y_Q - y_P) / (X_Q - x_P), donde H es la curva entre dos puntos. En el ejemplo anterior, la curva entre P y Q es:

H = (y_Q - y_P) / (X_Q - x_P)
H = Solo (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea Paso 8

Repetir varias veces, acercarse a la Q P. El objetivo es disminuir la distancia entre P y Q más y más hasta que se acerca a un solo punto. Cuanto más corta sea la distancia entre P y Q, cuanto más cerca será el turno de los pequeños segmentos de arco del punto P. Vamos a hacerlo un par de veces al ejemplo de ecuación, usando los puntos (2-4,8) (1,5 -3.95) y (1.25 a 3.49) para Q y el punto inicial (1,3) a P:

Q = (2-4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
M = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1.5 a 3.95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
H = (0,95) / (0,5) = 1.9

Q = (1,25 a 3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
H = (0,49) / (0,25) = 1.96

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 9

Estimar la curva para un infinitamente pequeño hueco en la línea. Al igual que en Q se aproxima a P, H acercarse a la curva en el punto P. Con el tiempo, en un intervalo infinitamente pequeño H es igual a la curva de P. Dado que no se puede medir o calcular este rango, se estima que sólo la curva de P cuando se desprende de los puntos sometidos a ensayo.

En el ejemplo, se acerque más Q P, los valores obtenidos fueron de 1,8, 1,9 y 1,96 H. Dado que estas cifras parecen acercarse a 2, se puede decir que 2 Es una buena estimación de la curva P.

Recuerde que la curva en un punto de una línea determinada es igual a la derivada de la ecuación de la recta en ese punto. Como muestra la línea de desplazamiento del objeto a través del tiempo, como se ha visto en la sección anterior, la velocidad instantánea de un objeto es la derivada de su desplazamiento en un punto, se puede decir también que 2 metros / segundo Es una buena estimación de la velocidad instantánea en t = 1.

parte 3

Ejemplos de problemas

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 10

Encontrar la velocidad instantánea en t = 4, teniendo en cuenta la ecuación del desplazamiento s = 5t - 3t + 2t + 9. Este ejemplo es el mismo que en la primera sección, con la excepción de ser una ecuación cúbica en lugar de cuadrática, a continuación, resuelve de la misma manera.

En primer lugar, es la derivada de la ecuación:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) + 3t (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2
A continuación, se asigna el valor de t (4):
s = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240-24 + 2 = 22 metros / segundo

Imagen titulada calcular la velocidad instantánea de la Etapa 11

Utilice una estimación gráfica para encontrar la velocidad instantánea (1.3) en la ecuación s = desplazamiento 4t - t. Para este problema, usando (1.3) como el punto P, pero es necesario encontrar algunos otros puntos próximos a utilizar como puntos de P. Así que es sólo una cuestión de encontrar los valores de H y estimación.

En primer lugar, es los puntos Q t = 2, 1.5, 1.1 y 1.01.

s = 4t - t

T = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, entonces Q = (2.14)

T = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, a continuación, Q = (1.5 a 7.5)

T = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 a 1,1 = 3,74, entonces Q = (1,1 a 3,74)

t = 1,01: s = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 a 1,01 = 3,0704, entonces Q = (1,01 a 3,0704)

A continuación, los valores M es:

Q = (2.14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1,5 a 7,5): H = (7,5 a 3) / (1,5-1)
M = (4,5) / (0,5) = 9

Q = (1,1 a 3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
H = (0,74) / (0,1) = 7.3

Q = (1,01 a 3,0704): M = (3.0704-3) / (1,01 - 1)
M = (0,0704) / (0,01) = 7.04

Como los valores de H parecen aproximarse a 7, se puede decir 7 metros / segundo Es una buena estimación de la velocidad instantánea (1.3).

consejos

Para encontrar la aceleración (velocidad de cambio en el tiempo), utilice el método en el que para obtener una ecuación derivada de la función de desplazamiento. Así que otro derivado, esta vez de la ecuación derivada. Por lo que tiene una ecuación para calcular la aceleración en un momento dado - todo lo que necesita hacer es asignar un valor a la vez.
La ecuación que relaciona Y (desplazamiento) X (tiempo) puede ser bastante simple, por ejemplo, Y = 6X + 3. En este caso, la curva es constante y no requiere la búsqueda de un derivado para la curva, es decir, siguiendo el modelo básico y = mx + b para los gráficos de líneas, 6.
El cambio es similar a la distancia, pero tiene una dirección definida, que es el vector de desplazamiento y subida de aceleración. El desplazamiento puede ser único negativo y positivo de accionamiento.