Cómo encontrar el máximo común divisor de dos números enteros

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El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros, también llamado Gran Factor Común (MFC), es el número más grande que es un divisor (factor) de ambos números. Por ejemplo, el número más grande que divide tanto 20 como 16 es 4. (tanto 16 como 20 tienen factores más altas, pero hay un factor común * * más - por ejemplo, 8 es un factor de 16, pero 20 no es un factor ).

En la escuela la mayoría de las personas aprenden un método de "patada y prueba" para encontrar el MDC. En cambio, hay un método simple y sistemática de hacer esto que siempre encuentra la respuesta correcta. El método se llama "algoritmo de Euclides".

Son dos números `a` y `b`.

método 1

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 1

Retire las señales negativas.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 2

Conocer su vocabulario: cuando se divide 32 por 5,

32 es el dividendo

5 es el divisor

6 es el cociente

2 es el resto.

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Identificar el mayor de los dos números. Este será el dividendo, y cuanto menor es el divisor.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 4

Escribe este algoritmo: (Dividendos) = (divisor) * (cociente) + (resto).

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 5

Ponga el número más alto en lugar del dividendo, y el número más bajo que el divisor.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 6

Decidir cuántas veces menor número dividirá el número más grande, y colocar como el cociente en el algoritmo.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 7

Calcula el resto, y sustituir el algoritmo de localización apropiada.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 8

Escribe el algoritmo de nuevo, pero esta vez a) utilizar el viejo como el nuevo divisor dividendo y B) utilizar el resto como el nuevo divisor.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 9

Repita los pasos anteriores hasta que el resto es cero.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 10

El último divisor es el máximo común divisor..

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 11

He aquí un ejemplo, cuando estamos tratando de encontrar el MCD 108 y 30:

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 12

Tenga en cuenta cómo el 30 y 18 en la primera posición de cambio de línea para crear la segunda línea. A continuación, 18 y 12 de cambio para crear la tercera línea, y 24:06 cambiando para crear la cuarta fila. El 3, 1, 1 y 2 tras el símbolo de multiplicación no aparecer. Representan cuántas veces el divisor encaja en el dividendo, por lo que son únicos para cada línea.

método 2

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 13

Eliminar cualquier signo negativo.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 14

Encuentra la factorización en números primos, y la lista como se muestra.

Usando doce y dieciocho como los números de las muestras:

24 2 x 2 x 2 x 3

18 2 x 3 x 3

El uso de 50 y 35 como números de muestra:

5 x 2 x 5 50-

5 x 7 35-

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Paso 15

Identificar todos los factores primos comunes.

Doce y dieciocho Usando los números de ejemplo:

24- 2 x 2 x 2 x 3

18- 2 x 3 3 x

50 y 35 Uso de los números de ejemplo:

2 x 50- 5 x 5

35- 5 x 7

Multiplicar los factores comunes entre ellos.

En el caso de 24 y 18 se multiplican 2 y 3 entre sí para encontrar 6. Seis es el máximo común divisor de 00:18.

En el caso de 50 y 35, no hay nada para multiplicarse. 5 Es el único factor común, y por tanto mayor.

Imagen titulada Encuentra el máximo común divisor de dos enteros Introducción

Listo.

consejos

Una forma de escribir esto, usando la notación mod = Else es MDC (a, b) = b, si a mod b = 0, y el MDC (a, b) = MCD (a, a mod b) en caso contrario.
Esta técnica es muy útil cuando la reducción de una fracción. El ejemplo anterior, la fracción se reduce a -77/91 -11/13 porque 7 es el máximo común divisor de 91 y -77.
Si `a` y `b` son ambos cero, entonces cualquier número distinto de cero divide a ambos, entonces técnicamente no hay un máximo común divisor en este caso. Los matemáticos suelen decir que el máximo común divisor de 0 y 0 es 0, y esta es la respuesta que da a este método.
A modo de ejemplo, nos encontraremos con el MDC (-77,91). En primer lugar, utilizar 77 en lugar de -77, a continuación, MDC (-77,91) se convierte en MDC (77,91). Ahora, 77 es menor que 91, entonces hay que cambiarlas, pero vamos a ver cómo el algoritmo resuelve por sí solo si no lo hacemos. Cuando calculamos 77 mod 91, encontramos 77 (desde 77 x 91 = 0 + 77). Dado que esto no es cero, intercambiamos (a, b) por (b, a mod b) y esto nos da: MDC (77.91) = MCD (91,77). 91 mod 77 da 14 (recordemos que 14 es el resto). Puesto que este no es cero, reemplazar MDC (91,77) por MDC (77,14). 77 mod 14 da 7 que no es cero, a continuación, cambiar MDC (77,14) por MDC (14.7). 14 mod 7 es cero, porque 14 = 7 * 2 sin descanso, así que paramos. Y esto significa: GCD (-77,91) = 7.